整數指數冪

一般地，

叫作

的

次冪，

叫作冪的底數，

叫作冪的指數，並且規定

。我們注意到在

的n次冪定義中，n是正整數，因此通常又把它稱為正整數指數冪 ^[2]  。

容易驗證，正整數指數冪的運算滿足如下法則：

(1)

；

(2)

；

(3)

；

(4)

。

在法則(3)中規定了

，如果取消這個限制，就需要討論下面兩種情形：

❶當

時，冪的商有如下運算：

依照法則(3)則有

即

這就説明當指數為負整數時，冪的值是有意義的。此時規定

叫作負整數指數冪。

❷當

時，冪的商有如下運算：

且

故

這説明當指數為零時，冪的值是有意義的。此時規定

叫作零指數冪，又叫零次冪。但是

是無意義的。

正整數指數冪、負整數指數冪、零指數冪統稱為整數指數冪。正整數指數冪的運算法則對整數指數冪仍然是成立的。特別地，有 ^[2] 

同上所述，容易驗證，正整數指數冪的運算滿足如下法則：

(1)

；

(2)

；

(3)

；

(4)

。

(5)

；

注：①這些運算性質在整數指數範圍內仍然適用。

②任何不等於零的數的

(n為正整數)次冪，等於這個數的n次冪的倒數，即

(

，n為正整數)。在這兩個冪的意義中，強調底數

都不等於零，否則無意義。

③學習了零指數冪和負整數指數冪後，正整數指數冪的運算性質可以推廣到整數指數冪的範圍 ^[3]  。