損傷力學

損傷力學是固體力學的分支。損傷力學認為，材料內部存在着分佈的微缺陷，如位錯、微裂紋、微空洞等，這些不同尺度的微細結構是損傷的典型表現。損傷在熱力學中，視為不可逆的耗散過程。材料或構件中的損傷有多種，如脆性損傷、塑性損傷、蠕變損傷、疲勞損傷等。

損傷力學選取合適的損傷變量（可以是標量、矢量或張量），利用連續介質力學的唯象方法或細觀力學、統計力學的方法，導出含損傷的材料的損傷演化方程，形成損傷力學的初、邊值問題的提法，並求解物體的應力場、變形場和損傷場。

損傷力學可大致分為連續介質損傷力學、細觀損傷力學和基於細觀的唯象損傷力學。

損傷力學近年來得到發展並應用於破壞分析、力學性能預計、壽命估計、材料韌化等方面。從 1958 年 P.M.卡恰諾夫提出完好度（損傷度）概念至今，損傷力學仍處在發展階段。

國際上公認的損傷力學體系尚在形成與發展之中。它與斷裂力學一起組成破壞力學的主要框架，以研究物體由損傷直至斷裂破壞的這樣一類破壞過程的力學規律。 ^[1] 

損傷力學基本假定是損傷力學研究中非常關鍵的內容。不同的基本假定導致不同的損傷變量定義模式和不同的損傷本構關係。為得到與研究對象相應的損傷本構關係，必須對受損傷物體的特性進行合理假定。損傷理論中的基本假定主要有以下三種：應變等價假定、應力等價假定、能量等價假定。

4.1 應變等價假定

應變等價假定認為，應力作用在受損材料上引起的應變與 ^[2]  有效應力作用在無損材料上引起的應變等價。

基於應變等價假定，受損結構的本構關係可通過無損時的形式描述，只需將其中名義應力換成有效應力即可。

4.2 應力等價假定

應力等價假定認為，損傷狀態下真實應變對應的應力和與虛構無損狀態下有效應變對應的應力等價。

應變等價假定實際上包含了應力等價假定。

4.3 能量等價假定

能量等價假定認為，損傷狀態下真實應變和應力對應的彈性餘能和虛構無損傷狀態下有效應變和有效應力對應的彈性餘能等價。

基於能量等價得到的損傷本構關係和損傷的定義與基於應變或應力等價得到的關係式有所不同。

根據研究的特徵尺度不同，損傷的研究方法總體上可分為三種：微觀方法、細觀方法和宏觀方法。

微觀方法是在原子或分子的微觀尺度上研究材料損傷的物理過程，並基於量子統計力學導出損傷的宏觀響應。該方法需要有原子結構、微觀物理等方面的知識和極大容量的計算設備。微觀方法為宏觀損傷理論提供了較高層次的實驗基礎，有助於提高對損傷機制的認識。但是，由於該方法着重於微觀結構的物理機制，很少直接考慮損傷的宏觀變形和應力分佈，而且目前在建立微觀結構變化與宏觀力學響應之間的關係上存在較大難度。因此，微觀方法很難直接用於工程結構的宏觀力學行為分析。

細觀方法是從材料的細觀結構出發，對不同的損傷機制加以區分，着眼於損傷過程的物理機制。該方法通過對細觀結構變化的物理過程的研究，探索材料破壞的本質與規律，並採用某種力學平均化方法，將細觀結構單元的研究結果反映到材料的宏觀性質中去。細觀方法主要研究材料細觀結構如微裂紋、微孔洞、剪切帶等的損傷演化過程，一方面它忽略了過於複雜的微觀物理過程，避免了微觀 ^[3]  統計力學的繁瑣計算，另一方面又包含了不同材料的細觀幾何構造，為損傷變量和損傷演化方程的建立提供了物理背景。

宏觀方法也稱為唯象學方法。它着重考察損傷對材料宏觀力學性質的影響以及結構的損傷演化過程，而不追究損傷的物理背景和材料內部的細觀結構變化。該方法是通過引進內部變量，將細觀結構變化映射到宏觀力學變化上加以分析的，即在本構關係中引入損傷變量，採用帶有損傷變量的本構關係真實地描述受損材料的宏觀力學行為。由於宏觀方法是從宏觀現象出發，並且模擬宏觀力學行為，所以方程及其參數的確定往往是半經驗半理論的，且具有明確的物理意義，可直接反映結構的受力狀態。因此，採用宏觀方法建立的損傷本構方程便於應用到結構設計、壽命計算及安全分析中。但該方法不能從細、微觀結構層次上弄清損傷的形態與變化。

根據研究對象的特點以及上述各類損傷研究方法的優缺點，採用宏觀方法對列車振動荷載作用下隧道結構的損傷進行研究，其主要研究過程包括以下四個階段：

（1）選擇合適的損傷變量，即選擇描述材料中損傷狀態的場變量；

（2）建立損傷演變方程，即建立描述損傷發展的方程；

（3）建立考慮材料損傷的本構關係；

（4）根據初始條件(包括初始損傷)和邊界條件求解材料各點的應力、應變和損傷值。

損傷變量

材料或結構在損傷過程中，其內部微裂紋或空隙是相互作用、相互影響的，並不存在某一孤立的控制損傷發展狀態的裂紋，而且人們也不可能對所有裂紋一一做出幾何學的描述，更無法確定各裂紋尖端附近的應力場。因此，力學工作者把含有眾多分散的微裂紋區域看成是局部均勻場，在場內考慮裂紋的整體效應，試圖通過定義一個與不可逆相關的場變量來描述均勻場的損傷狀態，這個場變量就是損傷變量。

損傷變量是表徵材料或結構劣化程度的量度，直觀上可理解為微裂紋或空洞在整個材料中所佔體積的百分比。在損傷力學中，損傷變量實際上起着“劣化算子”的作用，材料或結構的損傷狀態即是通過這些具有客觀統計特徵的損傷變量來描述的。從熱力學的觀點來看，損傷變量是一種內部狀態變量，它能反映物質結構的不可逆變化過程。

損傷會引起材料微觀結構和某些宏觀物理性能的變化，所以損傷變量可從微觀和宏觀這兩個方面選擇。微觀方面，可以選擇裂紋數目、長度、面積和體積等；宏觀方面，可以選擇彈性模量、屈服應力、拉伸強度、密度等。不同的損傷過程，可以選擇不同的損傷變量，即使同一損傷過程，也可以選擇不同的損傷變量。

自1980年以來，各國學者先後定義了多種損傷變量來描述材料或結構的損傷狀態，但他們都是以Kachanov定義的損傷變量為基礎的。Kachanov定義的損傷變量被認為是損傷變量最早且最經典的表述，其表達的物理意義為結構有效承載面積的相對減少。

根據研究對象的複雜程度和力學描述方式的不同，損傷變量可以定義為標量、矢量或張量等不同形式。例如對於微裂紋各向同性分佈的情況，損傷變量可採用標量形式；對於微裂紋有規律地平面分佈的情況，可用與裂紋垂直的矢量表示損傷；對於微裂紋各向異性分佈的情況，損傷變量可採用張量形式。雖然用張量表示損傷能夠更真實地反映微觀裂紋的排列狀態及其力學特性，但是其數學表達式比較複雜，在工程應用方面存在較大難度。

定義損傷變量是建立損傷模型，對材料或結構進行損傷分析的前提。損傷變量選擇的恰當與否決定着損傷模型的正確性。從力學應用上講，損傷變量的選取應考慮到如何與宏觀力學建立聯繫，並易於識別和量測。

理想的損傷變量應具有以下幾個特點：

（1）對損傷的描述有足夠精度，這種描述可以是基於細觀的，如微裂紋或微孔洞的幾何尺寸、取向、配置等；

（2）獨立的材料參數儘可能少，便於數學運算和實驗測定；

（3）有一定的物理意義或幾何意義。

損傷本構熱力學

損傷是與材料內部微觀結構組織的改變相關聯的，是物質內部結構的不可逆變化過程。損傷演變與塑性變形一樣都會造成材料的不可逆能量耗散，故損傷變量是一種內變量。材料的損傷本構方程可採用帶內變量的不可逆過程熱力學定律來研究，即讓損傷變量以內變量的形式出現在熱力學方程中。

熱力學在損傷本構建立方面的應用集中體現於熱力學第一、二定律。其中熱力學第一定律實質上是能量守恆原理，涉及熱與功的相互轉換。