拓撲動力系統

設X為可分緊空間，T為其拓撲等價，則(X,T)稱為拓撲動力系統。 ^[3] 

拓撲動力系統 topological dynamic system 又稱抽象動力系統，是動力系統的一個組成部分。所謂拓撲動力系統，是指拓撲空間(一般是度量空間)上的動力系統。它通常包含流、離散動力系統、半流及離散半動力系統。主要是從拓撲的觀點研究系統的不變集的結構及其軌道的性質。從20世紀70年代以來，由於微分動力系統研究的發展和深入，極大地推動了拓撲動力系統，特別是一維連續映射的研究，並取得了相當豐富和重要的成果。

① 初值條件：φ(x,0)=x；

② φ(x,t)對x，t一併連續；

③ 羣的條件：即對任意x∈，任意t1，t2∈I有；

④ φ(x,t)對t可微。

為了更一般地研究問題，可以拋開常微分系統，並假設空間是一般的度量空間R。設φ(x,t)是R×I到R且滿足性質①、②、③的單參數連續變換羣，則所有這些變換的全體稱為拓撲動力系統或抽象動力系統,記作,其中參數t代表時間。點集{φ(x,t),t∈I}稱為過點x的軌線或軌道,記作φ(x,I)。仿此,稱為正半軌線，為負半軌線。φ(x；為弧段。當t∈I(半羣),稱為半動力系統或半流；當t∈N（整數加羣）,稱為離散動力系統或離散流。若φ(x,t)=x，對一切t∈I,則稱點x為休止點，若φ(x，t+ω)=φ(x,t)，對一切t∈I，其中ω>0，則稱φ(x,t)為週期軌線,滿足上述等式的最小正數ω，稱為週期軌線的週期。 ^[1] 

G.D.伯克霍夫認為，動力系統理論主要是研究各種軌線的類型及其間的關係。為了研究軌線的分類,必須瞭解軌線在無窮時(t→±∞)的狀態。

極限點集 　設：實數列。如果有，則稱點y是軌線 φ(x，t)的ω-極限點，Ωx表示φ(x，t)的一切ω－極限點集。若，則稱y是φ(x, t)的α－極限點，Ax表示φ(x, t)的一切α－極限點集。

不變集 　設給定集合A吇R，若對一切t∈I,φ(A,t)=A，則稱A是不變集。Ωx和Ax是閉的不變集。任何一條軌線是不變集，但不一定是閉集。

極小集 　集合∑吇R稱為極小集,若它是非空、閉的且不變;同時它沒有任何真子集也具有這三條性質。顯然，Σ中的每一條軌線在Σ上處處稠密。另外，在上所定義的拓撲動力系統,若對軌線φ(x,t)而言,，則φ(x,I)就是一個極小集，但它不是緊緻的。而比較有趣的是緊緻極小集，如休止點和週期軌線就是緊緻極小集。在R上定義的連續動力系統的緊緻極小集只能是休止點和週期軌線。但當R≠R時，情形就不同了。

例如，式中θ，φ的週期都為1。這樣就在二維環面T上定義了動力系統。當у是有理數時，T上都是週期軌線；而у是無理數時, T上的每條軌線在其上處處稠密，T構成緊緻極小集。

又如，前例中,當у是無理數時，令，，式中 (θ，φ)是對θ，φ週期都為1的連續週期函數。對；當,。直觀地説，這就是將前例中的一條過點p且在T上處處稠密的軌線用奇點p切斷。這時T不再是極小集，而奇點p是極小集。

伯克霍夫證明，若R是緊緻度量空間,則在其上定義的動力系統Rt至少包含一個緊緻極小集。

當R是緊緻的二維定向流形,在其上定義了C光滑動力系統。若A是Rt的極小集且在R上無處稠密,則A必是休止點或週期軌線。若Ωx中不包含休止點或週期軌線,則Ωx=T=R。但當Rt只是C光滑時,A.當儒瓦在1931年舉出過反例。

仿此，有負向或雙側的遠離、漸近和泊松穩定軌線，後者分別簡稱為p或p穩定。休止點和週期軌線是p穩定的。R上的連續動力系統的 p穩定軌線只能是休止點或週期軌線，且其上的 p或p 穩定軌線必是p穩定軌線。而當R≠R時,情形就完全不同了。如前述的T2上被奇點切成兩段的軌線, 一條是p穩定的, 另一條是p穩定的,而T上其餘的都是p 穩定的軌線。比起遠離和漸近軌線來，p 穩定軌線是較複雜和較有興趣的。從天體力學觀點看，p穩定軌線在它的運行過程中,將不斷地在其軌線的任一點的任意小鄰域內再現。與此現象相反的是下面的情形。

設點x∈R，若存在它的鄰域U(x)及時間T>0,使得當t≥T 時,U(x)∩φ(x,t)=═，則稱x為遊蕩點。R上的所有遊蕩點集W是R上的不變開集。V=R\W是相對於R的非遊的點集,它是不變閉集。所有p穩定軌線上的點都是非遊蕩點。反之，卻不然。如前述的被奇點切斷的那條軌線，若再用有限個奇點將它切斷，則每兩個奇點之間的那些軌線就既非p穩定也非p穩定，但其上都是非遊蕩點。

對於p穩定軌線φ(x,t),根據在其運行過程中，它在軌線上任一點的任意小鄰域中再現的時間序列的性質不同，可分成很多類型，除了週期軌線外，最重要的是以下兩類。

若對任給ε>0,存在T(ε)>0及I上對T(ε)而言的相對稠密集{τn}，使得對一切t∈I和一切τn，有ρ(φ(x,t),φ(x,t+τn))<ε，則稱軌線φ(x，t)是幾乎週期軌線（或稱概週期軌線）。週期軌線便是幾乎週期的，若週期軌線的週期為ω>0，則可取T(ε)=ω,τn=nω。

若上述相對稠密集{τn}是依賴於軌線上的點y=φ(x,t)或者説依賴於t的，即{τn(t)},則稱φ(x,t)為回覆軌線。回覆軌線和幾乎週期軌線的閉包的性質是不同的。伯克霍夫證明,緊緻極小集內的每條軌線都是回覆的;反之，在完備空間內回覆軌線的閉包是緊緻極小集。而緊緻極小集Σ成為幾乎週期軌線的閉包的充分必要條件是：Σ是緊緻、交換、連通拓撲羣。

前例中未被奇點切斷的軌線都是p穩定的,但它們不是回覆的。類似地，可構造雙週期函數(θ，φ)，使得整個環面T是回覆軌線的閉包而不是幾乎週期軌線的閉包。

A.M.李亞普諾夫穩定性（見常微分方程運動穩定性理論）、吸引區等概念已經推廣到拓撲動力系統。對非自治微分方程的解來引進動力系統，即所謂“斜積流”，這是值得注意的動向。

粗略地説，如果自然界中一些隨時間演變的體系，其各種狀態x所構成的集合X有與時間t相關的動態規律Фt(x)(-∞<l<+∞)，並且Фt(x)滿足一定的簡單自然條件，則構成一動力系統。如果Фt(x)對t可微，則得到一常微分方程組。動力系統主要研究抽象系統的整體性質，這些整體性質有些是拓撲式的，也有些是統計式的，後者主要是遍歷性。可見，動力系統理論是經典常微分方程理論的一種發展。

對動力系統的研究開始於19世紀末，1881年以後，法國數學家龐加萊開始的常微分方程定性理論的研究就可以看作是動力系統的創始。後來有許多學者，特別是美國數學家G.D.伯克霍夫(1912年以後)從事動力系統一般定性理論的研究，他分別從整體區域和奇點附近兩個方面進行研究，證明了三體問題中的幾何定理，推進了馮·諾伊曼的工作，得到強形式的遍歷性定理。1931年以後，原蘇聯數學家馬爾可夫(小)總結了G.D.伯克霍夫的理論，正式提出動力系統的抽象概念。在以後的若干年裏，原蘇聯學者對動力系統理論的發展做出了貢獻，例如，柯爾莫戈羅夫和阿諾爾德等建立了關於哈密頓系統方程組解的穩定性理論。

20世紀60年代以後，動力系統的研究又發生了質的變化。這主要起源於結構穩定性的研究。常微系統結構穩定性的概念首先由原蘇聯數學家安德羅諾夫和龐特里亞金於1937年就某類平面常微分方程組提出。20多年以後，由於出現了二維結構穩定系統稠密性定理，這方面的研究才引起人們的重視。美國數學家斯梅爾在原蘇聯動力系統學派的影響下，開始了現代抽象動力系統的研究，他在1966年國際數學家大會上作的《微分動力系統》報告標誌着現代微分動力系統這個新興理論分支的誕生。由於在高維情形下稠密性定理不再成立，這就介入了具有異常複雜性的分形問題，這也許更符合自然界中出現的一些混沌現象。20世紀80年代以來，人們關心的洛倫茲奇異吸引子及費根鮑姆現象復甦了復解析函數迭代理論的研究，一些著名數學家的工作使復解析動力系統理論有了實質性的突破與進展。 ^[2]