常微分方程定性理論

常微分方程定性理論是常微分方程在不求出解的情況下研究解的分佈和性態的基本理論。

19世紀中葉以前，對具體的微分方程或微分方程組，人們總是力求找出其通解的分析表達式。但很多情況都遇到了困難，後來才知道在絕大多數情況下，特別是對非線性微分方程要得出其通解一般是不可能的。

19世紀後期，法國大數學家龐加萊(Poincare,(J.-)H.)創立了常微分方程定性理論。其基本思想是從微分方程本身的特徵去設法推斷其解所具有的性質，這就要從一些具有特殊性質的特解着手，如對奇點、週期解、極限環，以及更一般地，對軌線的極限集等加以分析研究，在此基礎上就可能對常微分方程所確定的解的總體的大範圍性態作出判斷。這就是常微分方程定性理論的基本部分。

經過後人的不斷髮展充實，定性理論已成為微分方程理論中一個最基本的分支。

常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的。

數學的其他分支的新發展，如複變函數、李羣、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響，當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。 ^[1]