抽象化

在數學中，抽象化是提取數學概念的本質的過程，這樣的話就去除了與原來有關聯的現實中的對象的依賴關係，並對其進行泛化，使其具有更廣泛的應用，從而與其他等效現象的抽象描述相匹配。現代數學中最為抽象的兩個領域是範疇論和模型論。 ^[1] 

許多數學領域開始於現實世界問題的研究，之後將基本規則和概念確定為抽象結構。例如，幾何起源於現實世界中距離和麪積的計算，代數開始於解決算術問題的方法。

抽象是一個持續的數學過程，許多數學題材的歷史發展展現出從具體到抽象的發展。以幾何的歷史發展為例；古希臘人抽象的第一步是古希臘語言，儘管普洛克洛（Proclus）介紹了希俄克拉底市的早期公理，歐幾里得的證明卻是平面幾何公理的最早的現存文件。在17世紀，笛卡爾引入了笛卡爾座標，促進了分析幾何的發展。抽象的進一步是由羅巴切夫斯基，波爾約，黎曼和高斯進行的，他們將幾何概念概括為非歐幾何。後來在19世紀，數學家們進一步推廣了幾何學，開發了n維幾何，投影幾何，仿射幾何和有限幾何等領域。最後，費利克斯克萊因的“Erlangen程序”確定了所有這些幾何的基本主題，將它們定義為對給定對象組下不變的屬性的研究。這種抽象層次揭示了幾何和抽象代數之間的聯繫。 ^[2] 

抽象的優點是：

（1）它揭示了不同數學領域之間的深層次聯繫。

（2）一個領域的已知結果可以在相關領域提出猜想。

（3）可以應用一個領域的技術和方法來證明相關領域的成果。

抽象的一個缺點是高抽象概念可能難以學習。抽象概念同化可能需要一定程度的數學成熟度和經驗。 蒙台梭利數學教育方法的基本原則之一是鼓勵兒童從具體的例子轉向抽象思維。

“科學展望”（1931）中的伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）寫道：“普通語言完全不適合表達什麼物理學真正斷言，因為日常生活的話語不夠抽象，只有數學和數學邏輯可以説出物理學家的意思“。

抽象化的詞典解釋：

（1） 將複雜物體的一個或幾個特性抽出去而只注意其他特性的行動或過程(如頭腦只思考樹本身的形狀或只考慮樹葉的顏色，不受它們的大小和形狀的限制)

(2) 將幾個有區別的物體的共同性質或特性形象地抽取出來或孤立地進行考慮的行動或過程。抽象對於將東西分成屬及種是必需的

(3)不具體；籠統。

(4)因無形而看不見的。上面的解釋很有意思。第一種解釋，説明人們在考慮一個問題或看待一個事物時需要有所選擇、有所捨棄。在“舍”“得”二字上做好文章。第二種解釋，説明在認識事物中，在抽象的過程中，比較方法是重要的、分類的方法是重要的。沒有比較、沒有分類我們就不可能認識事物。前兩種説明了抽象的過程和方法。後面的解釋則説明了抽象後的結果。一個東西不具體、籠統就是抽象的。因為無形而看不見的也説是抽象的。思想、概念都是無形的，都是抽象的。我們在向別人介紹某一種事物時，事物本身可能是具體的，但當我們用語言、文字向他人描述時，實際上你描述的已成為經你抽象後的“另一事物”，這需要讓受眾與他經驗中的具體的事物相聯繫，在受眾的頭腦中將你傳遞給他的信息重新組合、拼裝成具體的事物，才能給受眾形象的印象，否則別人不懂。這就需要我們在介紹抽象的事物時要將其形象化，畫圖，比喻、打比方，要儘可能多地調用受眾已有的知識和經驗。 ^[3]