微分理想

微分理想(differential ideal)是平行於通常環的理想。設R是有微分系Δ的微分環，R的理想I稱為R的微分理想，或Δ理想，是指I也是有微分系Δ的微分環。R至少有兩個微分理想{0}和R，稱為R的平凡微分理想。其餘的微分理想稱為非平凡微分理想或真微分理想。有微分系Δ的環R的理想I是Δ理想的充分必要條件是：a∈I，δ∈Δ，有δa∈I或δII。當Δ={δ}時，Δ理想又記為δ理想。對於任意給定的R的一個理想J，若： ^[1] 

則(J∶δ)是包含在J中最大的R的δ理想。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質.環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

環論是抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系.在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換羣，稱為R的加法羣，記為(R，+);

2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半羣，稱為R的乘法半羣;

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾範德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。

20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論.20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。

另一方面，由羣表示研究的影響，產生模、羣環與分次環的理論.20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限羣表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了羣代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受羣表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的.20世紀70年代後，由於分次代數的推動，羣代數進入新的階段——交叉積的研究.分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及羣表示論的推動，環論已進入一個新的階段。 ^[2] 

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與麼元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

微分環是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ，則Δ稱為R的微分系，R稱為有微分系Δ的環，或簡稱微分環或Δ環。設S是有微分系Δ的環R的子環，若S也是有微分系Δ的環，則S稱為R的微分子環，或Δ子環，而R稱為S的微分擴環。R至少有兩個Δ子環{0}和R，稱為R的平凡微分子環。其餘的微分子環稱為非平凡微分子環，或真微分子環。有微分系Δ的環R的子環S是Δ子環的充分必要條件是：a∈S，δ∈Δ，有δa∈S.Δ={δ}時，Δ環及Δ子環分別記為δ環，δ子環。 ^[3]