弦長定理

弦長定理是弦長積定理與弦長和定理的合稱。

弦長積定理：弧上所有點中，弧的中點到弧兩端的距離乘積最大。

弦長和定理：弧上所有點中，弧的中點到弧兩端的距離之和最大。

幾何表述：如圖1，在⊙

中，

為弧

的中點，

為弧

上任意一點，則有：

（弦長積定理）

（弦長和定理）

【證法一】設∠

，

,

由餘弦定理有 ^[1]  ：

即

，

則

；

由

得

，

∴

，即

由半角公式得 ^[2]  ：

,

∴

,

過點M作MH⊥AB於點H，

∵AM=BM，∴∠1=∠2=

，

∴

，

即

【證法二】由證法一中

可得：

，

∴

易知當

達到最大值時，

達到最大值，

由弦長和定理可得，此時P與M重合，

，

∴

。

【證法一】同弦長積定理證法一的過程，有：

則

，

∴

，

其中

為定值，且

，

即當

取最大值時，

達到最大值。

由弦長積定理可知

，

∴當

時，

達到最大值，

此時P與M重合

即

，

∴

。

【證法二】如圖2，延長

至點Q，使PQ=BP，連接BQ。

則

，且∠BQP=

∠P=

∠M，

∴點Q在以M為圓心，MA為半徑的圓上，

∴AQ的最大值為⊙M的直徑，即

，

∴

。

【證法三】（以下證明過程錯誤，請刪除！錯誤點：第三行“在△AB'P中，易得

，即

。”。因為三角形任意兩邊之和大於第三邊，所以

，即

。）

如圖3，過點P作直線

∥AB,作點B關於直線

的對稱點B',

連結B'P,AB'，則有BP=B'P。

在△AB'P中，易得

，即

。

易知當A,P,B'三點共線時，AP+B'P達到最大值。

如圖4，當點P運動到點M時，連結OP交AB於點H，

由垂徑定理得OP⊥AB，又

∥AB，∴∠2+∠3=90°。

易證∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠APB'=180°，

即A,P,B'三點共線，AP+BP達到最大值，

此時∵點P與點M重合，

∴PA+PB=MA+MB，

則

由一道初中課後題引發的數學規律探究：原題為2016年陝西數學中考壓軸題，如圖5：

大多數教參所給答案均以“顯然”二字敷衍而過，因此大家自發思考，進行總結歸納，不斷嘗試新的方法，或簡或繁，但體現了大家的創造性思維。