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幺正變換
鎖定
在數學中,幺正變換是保留內積的變換:變換之前的兩個向量的內積等於其轉換後的內積。幺正變換是使用幺正算符所做的變換,有對基矢的變換,有對算符的變換。
更準確地説,幺正變換是兩個希爾伯特空間之間的同構。 換句話説,幺正變換是雙射函數。
- 中文名
- 幺正變換
- 外文名
- Unitary transformation
- 學 科
- 數學
- 方 法
- 是使用幺正算符所做的變換
- 本 質
- 是兩個希爾伯特空間之間的同構
- 相關名詞
- 幺正算符
幺正變換簡介
在數學中,幺正變換是保留內積的變換:變換之前的兩個向量的內積等於其轉換後的內積。幺正變換是使用幺正算符所做的變換,有對基矢的變換,有對算符的變換。
更準確地説,幺正變換是兩個希爾伯特空間之間的同構。 換句話説,幺正變換是雙射函數。
[1]
幺正變換屬性
幺正變換是等式,可以通過在此公式中設置x = y來看到。
幺正變換算符幺正變換
更準確地説,幺正變換是兩個希爾伯特空間之間的同構。 換句話説,幺正變換是雙射函數
[2]
其中H1和H2是兩個希爾伯特空間,滿足
對於所有x和y都在H1裏。
幺正變換基矢幺正變換
給出兩組都滿足正交完備性條件的基矢集合
和
,存在幺正算符
滿足
算符
在基矢
中的矩陣表示的矩陣元素滿足
同理
給出任意的態
,在基矢
中的表示為
則
在
中的表示為
幺正變換反幺正變換
一個密切相關的概念是反幺正變換,這含有雙重的作用
在兩個複雜的希爾伯特空間之間
對於H1中的所有x和y,其中水平條表示復共軛。
幺正變換幺正算符
幺正變換定義1
幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符U:H→H,滿足U*U =UU*=I,其中U*是U的伴隨矩陣,I:H→H是個體算符。
較弱的條件U*U=I定義了一個等距。 另一個條件,UU* =I,定義了一個對偶。 因此,幺正算符是一個有界線性運算符,它既是等距法也是同位素法,或者也可以看成是一種等值法。
一個等同的定義如下:
幺正變換定義2
幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符U:H→H,其中:
(1)U是滿射的;
(2)U保留希爾伯特空間的內積H。換句話説,對於H中的所有向量x和y,我們有:
如果在此定義中允許域和範圍不同,則會捕獲希爾伯特空間類別中同構的概念。 等比例保留柯西序列,因此保留了希爾伯特空間的完整性。
以下,似乎較弱的定義也是等同的:
幺正變換定義3
幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符U:H→H,其中:
(1)U在H中是密集的;
(2)U保留希爾伯特空間的內積,H。
定義1和3是等價的,注意U保留內積意味着U是等距(因此,有界線性運算符)。U具有密集範圍的事實確保它具有有界的逆U-1。 很明顯,U-1= U*。
因此,幺正算符只是希爾伯特空間的自相似性,即它們保留了它們作用的空間的結構(在這種情況下,線性空間結構,內積,因此拓撲)。 有時由Hilb(H)或U(H)表示,給定希爾伯特空間H的所有單位運算符組本身被稱為H的希爾伯特組。
幺正變換舉例
(1)個體函數是一個幺正算符。
(2)R2中的旋轉是幺正算符的最簡單的凡示例。旋轉不改變矢量的長度或兩個矢量之間的角度。這個例子可以擴展到R3。
(3)在複數的向量空間C上乘以絕對值數1,即θ∈R的形式eiθ的數量是一個整數運算符。 θ被稱為相位,並且該乘法被稱為乘以相位。注意,θ模2π的值不影響乘法的結果,因此C上的獨立的單一運算符被一個圓參數化。相應的組,作為一組,是圓,稱為U(1)。
(4)更一般來説,單一矩陣正是在有限維希爾伯特空間上的統一運算符,因此幺正算符的概念是對單一矩陣概念的概括。正交矩陣是所有條目都是真實的酉矩陣的特殊情況。
(5)由整數索引的序列空間l2的雙向移位是一體的。一般來説,希爾伯特(Hilbert)空間中的任何操作者都是以正交為基礎進行洗牌而行事的。在有限維度情況下,這些運算符是置換矩陣。
(6)單向移位(右移)是一個等值線;它的共軛(左移)是一個對偶。
- 參考資料
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- 1. Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
- 2. Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.
- 3. l (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.
- 4. Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.
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