幺正算符

幺正算符是一種特殊的算符。在函數分析中，幺正算符作為一個數學分支，是希爾伯特空間上保留內積的一個有界運算符。 幺正算符通常被視為在希爾伯特空間上運行，但同樣的概念用於定義希爾伯特空間之間的同構概念。

單一元素是幺正算符的概括。 在代數中，如果U*U=UU* =I，則代數元素U稱為單位元素（unitary element），其中I是個體算符。 ^[1] 

幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符U：H→H，滿足U*U =UU*=I，其中U*是U的伴隨矩陣，I：H→H是個體算符。

較弱的條件U*U=I定義了一個等距。 另一個條件，UU* =I，定義了一個對偶。 因此，幺正算符是一個有界線性運算符，它既是等距法也是同位素法，或者也可以看成是一種等值法。 ^[2] 

一個等同的定義如下：

幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符U：H→H，其中：

（1）U是滿射的；

（2）U保留希爾伯特空間的內積H。換句話説，對於H中的所有向量x和y，我們有：

如果在此定義中允許域和範圍不同，則會捕獲希爾伯特空間類別中同構的概念。 等比例保留柯西序列，因此保留了希爾伯特空間的完整性。

以下，似乎較弱的定義也是等同的：

幺正算符是希爾伯特空間H上的有界線性運算符U：H→H，其中：

（1）U在H中是密集的；

（2）U保留希爾伯特空間的內積，H。

定義1和3是等價的，注意U保留內積意味着U是等距（因此，有界線性運算符）。U具有密集範圍的事實確保它具有有界的逆U^-1。 很明顯，U^-1 = U*。

因此，幺正算符只是希爾伯特空間的自相似性，即它們保留了它們作用的空間的結構（在這種情況下，線性空間結構，內積，因此拓撲）。 有時由Hilb（H）或U（H）表示，給定希爾伯特空間H的所有單位運算符組本身被稱為H的希爾伯特組。

（1）個體函數是一個幺正算符。

（2）R²中的旋轉是幺正算符的最簡單的凡示例。旋轉不改變矢量的長度或兩個矢量之間的角度。這個例子可以擴展到R³。

（3）在複數的向量空間C上乘以絕對值數1，即θ∈R的形式e^iθ的數量是一個整數運算符。 θ被稱為相位，並且該乘法被稱為乘以相位。注意，θ模2π的值不影響乘法的結果，因此C上的獨立的單一運算符被一個圓參數化。相應的組，作為一組，是圓，稱為U（1）。

（4）更一般來説，單一矩陣正是在有限維希爾伯特空間上的統一運算符，因此幺正算符的概念是對單一矩陣概念的概括。正交矩陣是所有條目都是真實的酉矩陣的特殊情況。

（5）由整數索引的序列空間l²的雙向移位是一體的。一般來説，希爾伯特（Hilbert）空間中的任何操作者都是以正交為基礎進行洗牌而行事的。在有限維度情況下，這些運算符是置換矩陣。

（6）單向移位（右移）是一個等值線；它的共軛（左移）是一個對偶。

（7）傅立葉運算符是一個整數運算符，即執行傅里葉變換（適當歸一化）的運算符。 ^[3] 

可以在不改變含義的情況下刪除幺正算符的定義中的線性要求，因為它可以從標量積的線性和正定性得出 ^[4]  ：

也可以得到，