平穩函數

平穩函數(stationary function)是變分法中的一個概念。滿足歐拉-拉格朗日方程的函數稱為平穩函數或平穩點，而它相應的圖象稱為平穩曲線(一個變量)或平穩曲面(二個變量)。泛函(變分積分)在平穩函數取的值稱為平穩值。 ^[1] 

亦稱變分學，研究泛函極值的一門學科。變分法主要研究泛函的變元函數使泛函達到極值的必要條件和充分條件，並研究求得該變元函數的方法及其性質。變分法的研究方法有直接法與間接法。直接法是直接由泛函去求得極值或判斷相應極值問題是否有解；而間接法是先給出泛函達到極值的必要條件：歐拉-拉格朗日方程(亦稱為歐拉方程)，然後在滿足歐拉-拉格朗日方程的解中，利用各種充分條件來判斷變分問題是否有解。

變分法的歷史可追溯到古希臘，那時就有了所謂等周問題：在長度一定的封閉曲線中，找出圍出最大面積的一條封閉曲線。另一著名的問題即最速落徑問題是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的。但對變分法實質性研究還是從1696年，約翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公開向歐洲數學家給出該問題的解開始，洛必達(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、約翰第一·伯努利、萊布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛頓(Newton，I.)用了不同的方法解決了這個問題。後來歐拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)對這一類問題的研究奠定了變分法的理論基礎。變分法這一名詞由拉格朗日首次提出來，一直沿用下來。

人們研究變分法，是因為社會和自然諸多領域都存在變分原理的實際背景.社會追求效益，投入一定時，希望產出最大;或產出一定時，希望投入最小。某些現象中，自然也依最簡單最有效的方式運行。牛頓在《自然哲學的數學原理》中寫到：“自然不做任何徒勞無益的事情，浪費愈多，服務愈少。自然喜歡簡單性而不為浮華所動”.現代科學早期就依最優原理表達某些自然規律。這一原理看來在一定程度上反映了宇宙的先驗的和諧性，特別吸引那些為知識的統一性和簡單性而奮鬥的科學家。事實上，確實有許多自然規律可用極值原理來表達。第一個發現這種類型的原理是公元前100年，亞歷山大的海倫(Heron，(A))提出的，他用光總走最短路徑解釋光的反射定律.1662年，費馬(Fermat，P.de)從光總是依最快的路徑從一點傳播到另一點這一假設推導出光折射定律。這一假設稱為費馬原理。大約80年後，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普魯士科學院院長)斷言，如果自然發生了什麼變化，那麼對這一變化所付出的作用量必然是最小的。萊布尼茨對作用引進量綱是“能量×時間”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，這個量是基本量子h的整數倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏爾泰(Voltaire)的無情嘲諷。這或許使得拉格朗日將1788年的“分析力學”建立在達朗貝爾原理的基礎上而非最小作用原理的基礎上，儘管他早在1760年對這一原理已有了相當明確的一般數學提法。很晚以後，哈密頓(Hamilton，W.R.)和雅可比才給這一原理以令人滿意的形式，大概是亥姆霍茲(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理規律的行列。20世紀前半期，物理學家主要熱衷於用空間時間微分方程描述自然規律，最小作用原理又明顯回潮。

古典變分法已有近300年的歷史。微積分創立不久，變分法便開始發展.贏得國際聲望的研究首先是約翰第一·伯努利1696年解決了最速落徑問題。他和他的哥哥雅各布第一。伯努利(Bernoulli，Jacob Ⅰ)是這一新領域的奠基者，雖説萊布尼茨、牛頓、惠更斯(Huygens，C.)、洛必達也都有不俗的貢獻。在歐拉和拉格朗日的手裏，變分法成了解答許多物理和幾何問題的靈活有效的理論。變分法的第一階段，人們推導變分問題的最大或最小函數滿足的必要條件，比如歐拉方程。歐拉用折線逼近曲線的一種粗放方法導出它，而拉格朗日則用高雅的變分導出它，歐拉隨即把這一學科命名為變分法。在變分法發展的初期階段，保證歐拉方程的解具有極小性的充分性條件尚未涉及，只有約翰第一。伯努利1718年的一篇文章例外，但該文在近200年中被忽視。

充分性問題首次在勒讓德(Legendre，A.-M.)1788年的文章“Sur la maniere de distingues les maxima des minima dans le calcul des variations”(關於區分變分法中的極大和極小)中被系統研究。勒讓德在該文中用二階變分處理這一問題。儘管拉格朗日在1797年指出了該文的一些錯誤，但雅可比1837年重新探討這一問題時發現該文的思想是富有成效的。雅可比在其短文“Zur Theorie Variations-Rechnung und der Defferential-Gleichungen”中概述了二階變分的理論，其中包括他的著名共軛點理論，但所有的結果只有敍述而本質上沒有證明。這需要整整一代的數學家添補細節。高斯(Gauss，C.F.)首先在1830年的文章“Principia generalia theoriae figure fluidorum in statu aequilibrii”中考慮了自由邊界問題，繼而有泊松(Poisson，S.-D.)、奧斯特羅格拉茨基(Остороградский，М.В.)、德洛內(Delaunay，C.E.)、薩魯斯(Sarrus，P.F.)和柯西(Cauchy，A.-L.).施依佛(Scheeffer，L.)和外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))發現使二階變分具有正定性的平穩函數一般只取弱極值，即只是在切線很接近的曲線之間比較而言的極值。為研究強極值充分條件，外爾斯特拉斯在1879年建立了場論，把平穩曲線嵌入到適當的平穩曲線場，這大大簡化了平穩曲線與鄰近曲線的比較。 ^[2] 

變分法理論的發展與力學、光學、彈性理論、電磁學等學科密切相關。同時變分法的理論成果又能應用到這些學科。現代變分法在各學科的應用愈來愈廣，並發展成為優化和最優控制理論。

由一個或幾個函數確定其值的因變量。泛函表示的關係是因變量與自變函數之間的關係，因此， 有人稱泛函是 “函數的函數”。例如，梁的應變能 是以梁的撓度函數y (x) 為自變函數的泛函n [y (x)]。工程力學中許多問題可以化為泛函的極 (駐) 值問題來求解。 ^[3]