平均法

含有弱非線性項的非線性系統振動可認為是線性系統週期性振動的修正，因此其近似解可寫為餘弦函數(圓函數)的形式，但其振幅和相位角不再是常數而是隨時間變化的。為進一步獲取振幅和相位角的具體表達，通過對上述週期形式解進行時間求導，可將非線性振動方程(通常是關於位移的二階非線性常微分方程)轉化為以振幅與相位角為未知函數的狀態方程。進而引入振幅和相位角隨時間緩慢變化的假定，即在一個週期內振幅和相位角可近似認為是常數，而在每個相鄰週期中振幅和相位角僅發生微小的變化。由此，可對振幅和相位的變化率(方程右端)分別在一個週期內進行平均，獲得振幅和相位角的近似狀態方程，從而使問題得到顯著簡化，並在有些情況下獲得解析解。

上述原始平均化思想僅能獲得一階近似解。通過引入位移、振幅和相位角的漸進展開序列並結合平均過程，可以得到弱非線性系統的高階近似解。將上述圓函數解答向橢圓函數、廣義諧和函數推廣，平均法亦可進行強非線性系統的定量分析。

關於弱非線性系統振幅和相位角緩變解答的假定，最早是荷蘭的V.d.波爾於1926年提出的。烏克蘭的N.M.克雷洛夫和俄羅斯的N.N.包戈留包夫隨後結合平均化思想發展了平均法，並於20世紀40年代引入高階漸近展開，Y.A.米特羅波爾斯基於20世紀60年代將其推廣到非定常振動，形成了KBM法或漸近法。20世紀70年代以來，研究者進一步將平均法推廣到強非線性系統和隨機系統分析之中。

廣義地説，平均法也是攝動方法之一，在確定性系統非線性振動分析中具有重要意義。但採用平均法獲取高階解答的運算十分繁複，對多自由度系統更為困難。隨着計算力學與計算技術的發展，數值方法得到了日益重視。但平均法依然以其清晰的物理意義和對問題的簡化能力而受到關注。較之確定性系統，在非線性隨機系統動力學與控制中，平均法的地位更為重要。 ^[1]