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對偶命題
鎖定
- 中文名
- 對偶命題
- 外文名
- dualpropositions
- 所屬學科
- 數學
- 定 義
- 指成對偶對應的幾何命題
- 相關概念
- 對偶原則、射影平面、對偶元素等
- 類 型
- 數學術語
對偶命題定義
在射影平面裏設有點,直線及其相互結合和順序關係(此處的順序關係指共線四點或共點四線的分離關係)所組成的一個命題,將此命題中的各元素改為它的對偶元素,各作圖改為它的對偶作圖,其結果形成另一個命題,這兩個命題叫做平面對偶命題。
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對偶原則 在射影平面裏,如果一個命題成立,則它的對偶命題也成立。
關於對偶原則的嚴格證明,要從射影任何的公理系統出發,或從座標方程出發也可説明其真實性。
命題A的平面對偶命題記以
。
例1 A:通過不同兩點必有一直線。
例2 A:若兩個完全四點形的五對對應邊的交點在同一直線上,則其第六對對應邊的交點也在此直線上,其四對對應頂點的連線必共點。
利用德薩格定理及逆(對偶)定理容易得到證明。
對偶原理在射影幾何中有重要地位,證明一個定理的同時也就證明了它的對偶定理,因此可以事半功倍。
對偶命題詳細介紹
平面射影幾何是研究射影平面上按照點與直線的接合關係能夠表達出來的全部命題,在射影平面上,只涉及到點與直線的接合關係的命題稱為射影命題。
定義1 屬於一個平面的所有點的集合叫做點場,這平面叫做點場的底;屬於一個平面的所有直線的集合叫做線場,這平面叫做線場的底。
設在射影平面上給了由點和直線按照某種接合關係組成的一個圖形,把這圖形裏的點換成直線,直線換成點,並保留接合關係,我們得到另一個圖形,這後一個圖形稱為前一個圖形的對偶圖形。點和直線稱為射影平面上的對偶元素,顯然,圖形的對倡關係是對稱的,例如點場和線場,點列和線束,三點形和三線形都是互相對偶的圖形。
一個圖形可以是它自己的對偶圖形,這種圖形稱為自對偶圖形。如三點形和三線形都含有不共線的三個點與兩兩相連的三條直線,它們是同一圖形,所以三點形(或三線形)是自對偶圖形。
把一個射影命題裏的點換成直線,直線換成點,並保留接合關係,我們得到另一個命題,這後一個命題稱為前一個命題的對偶命題。顯然,命題的對偶關係也是對稱的,在對偶命題的敍述中,自對偶圖形是不必改變敍述的,一個命題可以是它自己的對偶命題,這種命題稱為自對偶命題,例如“一“存在着一點和一直線不相接合”就是一個自對偶命題。
對偶命題舉例
對偶命題可舉例如下:
點幾何學:
1)射影平面上點的原始座標是非零三數組
,成比例的三數組表示同一點,不成比例的三數組表示不同的點。
2)在點座標
裏,直線
有方程
。
3)不同兩點
和
決定唯一的連線
。
4)三點
共線的充要條件是
,即存在不全為零的三個數
使得
線幾何學:
1)射影平面上直線的原始座標是非零三數組
,成比例的三數組表示同一直線,不成比例的三數組表示不同的直線。
2)在線座標
裏,點
有方程
。
3)不同兩直線
和
決定唯一的交點
。