自對偶命題

自對偶命題（self-dual propositions ）是一種特殊的對偶命題，即意義一致的兩個命題。例如，“三點及其兩兩連線組成一個三點形”與“三線及其兩兩交點組成一個三線形”，代表同一事實，就是自對偶命題，“一點在一直線上”與“一直線通過一點”也是自對偶命題 ^[1]  。

射影平面與歐氏平面的結構是不同的，例如在歐氏平面上兩條直線不一定相交，而在射影平面上，兩條直線必交於一點。因此射影平面具有一些特殊的屬性，對偶原理就是射影平面的一個重要特性。在射影平面上，關於點與直線的結合性：“一點在一條直線上”與“一條直線通過一點”, 後一句可以看成是把前一句中的“點”改 為“直 線”、“直線”改為“點”、......在....上”改成“.....通過...”所得到的，我們把它們兩者叫做互對偶的。下面介紹射影平面上的對偶原則：

對於對偶原則，我們將此概括成以下幾點。

(1) 對偶元素：“點”與“直線”叫做射影平面上的對偶元素。

(2) 對偶關係：“......在.......上”與“.....通過...”是對偶關係；“連接”與“相交”是對偶關係。

(3) 對偶命題：在一個命題中，將對偶元素互換，對偶關係也同時互換而得到的新命題叫做原命題的對偶命題。若一命題與它的對偶命題本質上相同，則把它叫做自對偶命題。

(4) 對偶圖形：將一圖形中的元素換成它的對偶元素，關係換成對偶關係，而作出的新圖形叫做原圖形的對偶圖形。若一圖形與它的對偶圖形相同，則把它叫做自對偶圖形。

(5) 對偶原理: 在射影幾何裏，如果一個命題成立，那麼它的對偶命題一定成立。

由對偶原理知，互為對偶的兩個射影命題，只要一個正確，另一個也是正確的，所以只要證明其中一個就行了。往往一個命題難以理解時，它的對偶命題卻容易為直覺所接受。因而，兩個對偶的射影命題，只需證明其中容易證明的一個，這樣可以達到事半功倍的效果。在歐幾里得幾何裏，“平面上任何兩個不同點可以確定一條直線”，而對偶命題“平面上任何兩條不同直線交於一點”則不成立。因為兩條平行直線沒有交點，所以對偶原理在歐幾里得幾何裏不成立。可是也有一些歐幾里得定理常常是正確的。當然,這時必須獨立證明。所以在歐幾里得幾何裏，對偶原則可以作為探求定理的工具