對偶運算

對偶運算是射影幾何的一個術語，指射影幾何中將基本元素間的結合關係換為其對偶元素的結合關係的一種方法。在射影平面上，通過一點作一直線與在一直線上取一點稱為平面上的對偶運算。

在射影平面上，點和直線互為對偶元素(dual elements)；在射影空間中，點和平面互為對偶元素，直線的對偶元素仍是直線。在射影平面上，通過一點作一條直線和在一條直線上取一點稱為平面上的對偶運算(dual operation)；在射影空間中，通過一點作一條直線和在一平面上取一條直線，通過一條直線作一平面和在一條直線上取一點，通過一點作一平面和在一平面上取一點都稱為空間中的對偶運算。

[principle of duality]

對偶原理是射影幾何所特有的一條重要原理。指在射影平面或射影空間中，若一個命題成立，則其對偶命題也成立。

在射影平面上，把由點和直線所構成的一個圖形中的各元素換成其對偶元素，各運算換成其對偶運算，得到的圖形和原圖形稱為平面上的對偶圖形(dual figure)。

在射影空間中，把由點、直線和平面所構成的一個圖形中的各元素換成其對偶元素，各運算換成其對偶運算，得到的圖形和原圖形稱為空間中的對偶圖形。

在射影平面上，對於由點、直線和它們的結合關係所構成的一個命題，將其中的各元素換成其對偶元素，各運算換成其對偶運算，得到的命題和原命題稱為平面上的對偶命題(dualpropositions)。

在射影空間中，對於由點、直線、平面和它們的結合關係所構成的一個命題，將其中的各元素換成其對偶元素，各運算換成其對偶運算，得到的命題和原命題稱為空間中的對偶命題。 ^[1]