德薩格定理

德薩格定理(Desargues theorem)是射影幾何的重要定理之一。若兩三角形的對應頂點連線共點(此點稱為透視中心)，則其對應邊之交點必共線(此線稱為透視軸)。此定理的逆定理亦成立。滿足德薩格定理的兩個三角形稱為透視的。

這種交叉定理在通常的歐幾里德平面中是正確的，但在特殊情況下需要特別注意，因為當一對邊平行時，它們的“交點”返回到無限遠。 通常，為了消除這些例外情況，數學家們通過在“龐加萊”之後加入“無限”點，“完成”歐幾里得平面，這產生了投影平面。

德薩格定理對於真正的投影平面是正確的，對於從場或分區環算出的任何投影空間，對於任何不等於二的尺度的投影空間，以及Pappus定理所擁有的任何投影空間。 然而，有一些非德薩格平面，德薩格定理是不成立的。 ^[2] 

德薩格從未發表過這個定理，但是它出現在題為“使用視角的M. Desargues的通用方法”（附錄）中的一個附錄，該書是他的朋友和學生亞伯拉罕博斯（1602年-1676年）發表的關於1648年出版的觀點的實用書籍。

在像歐幾里德平面這樣的仿射空間中，類似的聲明是真實的，但只有當列出了涉及平行線的各種例外情況。因此，德薩格的定理是最基本的簡單和直觀的幾何定理，其自然出發點是投射而不是仿射空間。

根據定義，當且僅當它們處於中心透視（或等效地根據該定理，軸向透視）時，兩個三角形是透視的。請注意，透視三角形不需要相似。

在平面投影幾何（其中點對應於線和共線性對應於線的並行性）的標準二元性下，德薩格定理的陳述是自相矛盾的：軸向視角被轉換為中心透視性，反之亦然。

德薩格定理適用於任何場或分區環上的任何維度的投影空間，並且還適用於尺寸至少為3的抽象投影空間。在維度2中，它所保持的平面稱為德薩格平面，與可以通過劃分環給定座標。還有許多非德薩格平面，其中德薩格的定理不成立。

任何投射空間至少為3的德薩格定理都是真實的，對於任何可以嵌入在至少為3的維度空間中的任何投影空間，更為一般。

德薩格的定理可以説如下：

如果線Aa，Bb和Cc是併發的（在某點相交），那麼

點AB∩ab，AC∩ac和BC∩bc是共線的。

由於假設Aa和Bb的併發性，點A，B，a和b是共面的（位於同一平面）。因此，線AB和ab屬於同一平面，必須相交。此外，如果兩個三角形位於不同的平面上，則點AB∩ab屬於兩個平面。通過對稱參數，AC∩ac和BC∩bc點也存在並屬於兩個三角形的平面。由於這兩個平面在多於一個點相交，它們的交點是包含所有三個點的線。

如果兩個三角形不包含在同一平面內，這就證明了德薩格定理。如果它們在同一個平面上，則可以通過選擇不在平面上的點來證明德薩格的定理，使用它將三角形從平面中提升出來，使上述參數起作用，然後再投射回平面。如果投影空間的尺寸小於3，則證明的最後一步將失敗，因為在這種情況下可能無法在平面外部找到一個點。

蒙格定理也斷言三點在一條線上，並有一個證明，使用相同的想法考慮它在三個而不是兩個維度，並將線作為兩個平面的交點。 ^[3] 

由於德薩格定理不是非德薩格投影平面，為了證明它，需要滿足一些額外的條件。這些條件通常採取假設存在一定類型的足夠多的共線的形式，這反過來又表明底層的代數座標系必須是分割環（歪斜域）。 ^[4] 

Pappus的六邊形定理表明，如果以頂點a，b和c位於一條線上的方式繪製六邊形AbCaBc，並且頂點A，B和C位於第二條線上，則六邊形的每兩個相對邊位於兩條線在一點相遇，以這種方式構造的三個點是共線的。 Pappus定理普遍成立的一個平面叫做Pappian平面，德薩格定理可以從Pappus定理的三個應用推導出來。

逆定理是不正確的，也就是説，並不是所有的德薩格平面都是Pappian平面。普拉斯定理滿足相當於使底層座標系可交換。因此，在非交換分割環（不是字段的分割環）上定義的平面將是德薩格，而不是Pappian。然而，由於Wedderburn的小定理，其中指出所有有限分割環都是場，所有有限的德薩格平面是Pappian。儘管Bamberg&Penttila（2015）給出了僅使用“基本”代數事實的證據，而不是Wedderburn的小定理的完整實力，但並不完全是幾何證明這一事實。 ^[5]