實數線

儘管至少早在古希臘時代，人們就開始研究實數線，但直到1872年，實數線才被嚴格地定義。而自始至終，它一直是在數學的許多分支中扮演重要角色的實例。

實數線具有一個標準拓撲，它可以通過兩種等價的方法引入：

（1）實數滿足全序關係，它們具有序拓撲；

（2）實數能夠通過絕對值

的度量轉換到度量空間。這一度量給出R上等價於序拓撲的拓撲。

作為拓撲空間，實數線是個1維的拓撲流形。

它既是可縮空間、局部緊緻空間，也是仿緊緻空間、第二可數空間。 它還具有標準可微結構，使它成為可微流形（由於可微同構，該拓撲空間只支持一個可微結構） 。事實上，R是歷史上研究這些數學結構的第一個實例，它啓示了現代數學這些分支。實際上，上述這些術語中的其中一些在沒有R的情況下甚至不能被定義。

作為向量空間，實數線是實數域R（即其自身）上的1維向量空間。它具有標準內積，使它成為歐幾里得空間（這個內積就是普通的實數的乘法） 作為向量空間，它並不引起注意。實際上是2維歐幾里得空間首先被作為向量空間進行研究的。 然而，仍然可以説，由於向量空間首先是在R上進行研究的，它啓示了線性代數。R也是環，甚至是域的主要實例。實數完備域實際上是第一個被研究的域，所以它也啓示了抽象代數。 然而，在純代數文獻中，R幾乎不被稱為“線” ^[1]  。