密率

任一個圓的圓周長與它的直徑之比都等於一個固定的常數，這個常數就是圓周率，通常用π表示。圓周率是一個無理數，也就是一個無限不循環小數，因而用有限小數和分數都不能準確地表示它，只能表示出它的近似值。自古以來，世界各國數學家不斷進行艱辛研究，使圓周率愈益計算精確。圓周率的日益精確程度成為世界各國各個時代數學才能的量度標誌 ^[2]  。

南朝宋、齊時期大科學家祖沖之(429-500)在宋大明五年(461)任南徐州從事史時，刻苦鑽研數學，在前人研究成果的基礎上更開密法算出圓周率的過剩和不足近似值是8位有效數字，圓周率的真值在朒數和盈數之間，即3.1415926<π<3.1415927。祖沖之因此成為世界上第一個把π數值推算到小數點後第7位數字的人。祖沖之還給出π的兩個近似分數值：密率=355/113(≈3.14159292，精確到小數點後第6位)，約率=22/7(≈3.14285714，精確到小數點後第2位)。密率355/113是祖沖之在數學史上作出的傑出貢獻。在西方，直到15世紀阿拉伯數學家卡西和16世紀法國數學家韋達才算得355/113這一數值，比祖沖之晚1000多年，因此日本數學史家三上義夫主張將355/113這一數值稱為“祖率”。祖沖之的密率是如何算得的，史書未見記載，據推測可能採用同時代天文學家何承天發明的“調日法”推算得到。相當多的中國數學史學家認為祖沖之繼續應用了魏晉時數學家劉徽用割圓術來計算圓周率的方法。據此推斷，祖沖之要算到圓內接正12288邊形和正24576邊形面積，才能得到準確到小數點後7位數的圓周率 ^[2]  。

密率(density)是數論中的一個重要概念，是與哥德巴赫猜想及華林問題有關的概念。給定整數的集合A：a=a₀，a₁，a₂，…，a_n，…，其中a_n<a_n+1，若用A(n)表示A中不超過n(n≥1)的正整數的個數，即

則0≤A(n)≤n，而0≤A(n)/n≤1，A(n)/n(n=1，2，…)的下確界稱為A的密率，記為d(A)，即

例如，集合A={0，2，4，6，8，…}的密率d(A)=1/2，集合A={1，3，5，7，…}的密率d(A)=1/2；而集合A={0，1，2，3，4，5，…}的密率d(A)=1 ^[1]  。

從密率的定義可得到它的一些簡單性質：

1.若集合A不包含1(當a₁>1)時，d(A)=0；

2.若a_n=1+r(n-1)(即A從a₁起，是以1為首項，r為公差的等差數列)，則d(A)=1/r；

3.每一個等比數列所成集合的密率是0；

4.所有完全平方數組成的集合，密率是0；

5.如果d(A)=0，而A包含1，則對任給的ε>0，一定可找到N≥1，使得A(N)<εN；

6.集合A包含自然數全體的充分必要條件是

7.設A，B是兩個數集，令A+B={a+b|a∈A，b∈B}(數論中集合相加均按此定義)，則d(A+B)≥d(A)+d(B)-d(A)·d(B)，更一般地有

此即由施尼雷爾曼(Л.Г.Шнирельман)於1930年引入的施尼雷爾曼不等式。

8.若d(A)+d(B)≤1，則d(A+B)≥d(A)+d(B)，一般地，當

時，有

這就是蘭道不等式。1931年，蘭道(E.G.H.Landau)猜想有上述不等式成立，但直到1942年才由曼(H.B.Mann)給出證明。1954年，凱皮爾曼(Kemperman)給出了一個新的簡單的證明 ^[1]  。