調日法

調日法是南北朝數學家何承天發明的，是一種尋找近似分數來表示天文數據或數學常數的內插法。調日法後來傳入日本。我國古歷用分數表示各種單位以下的零數部分，如四分曆的迴歸年是365又1/4日，因零數是1/4，所以叫做四分曆，這個4就叫做日法，四分曆的朔望月是29又499/940日，太初曆的朔望月是29又43/81日，這些分母940和81也叫做日法，它們的分子499和43叫做朔餘。南朝的何承天取26/49為朔望月零數部分的強率，取9/17為弱率，把15個49和一個17相加，就得到日法752。因為這是一種調整分母的方法，分母又稱日法，所以叫做調日法。

已知 ^[1] 

則

推而廣之：

，其中 m,k 為正整數。

調日法的計算步驟如下：

若

，並且

如果有正整數m,k滿足

那麼就有

證明如下：由條件可得

根據

又有

代入上面兩個關係式可得

解關於x的一元一次方程得到結果

何承天調日法被同時代和後代數學家如趙爽、祖沖之、一行等運用。在秦九韶的《數書九章》裏記載了調日法的具體計算步驟。

何承天將

作為朔望月零數部分的弱率，以

作為作為朔望月零數部分的強率。運用調日法，最後得到

727年唐朝天文學家一行在大衍曆法中用同樣的弱率和強率求得更精確的

南北朝數學家祖沖之熟悉調日術，他以

為弱率， 以

為強率，通過調日法得到

何承天以

為弱率，以

為強率，用調日法求得近點月為

祖沖之求出圓周率為3.1415926至3.1415927之間，並得到近似分數22/7和355/113，分別稱之為約率和密率。祖沖之計算圓周率以及近似分數的方法已經失傳。一般學者認為他是用劉徽割圓術求得圓周率，再用何承天的調日法求得約率和密率的分數表示式。

約率

密率

用調日法計算密率步驟如下：

取

，先只考慮小數部分，根據

先計算

尋找滿足下列條件的m,k值

所以可以令

，從而得到結果：