子層

子層是由子羣關係對對應的層。

設 (R,π,X) 與 (S,η,X) 是 X 上的羣層，若 R 是 S 的開子集，η|R=π，且對所有的

是

的子羣，則稱 (R,π,X) 是 (S,η,X) 的子層。 ^[1] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

如果羣 G 的非空子集合 H 對於 G 的運算也成一個羣，那麼 H 稱為 G 的子羣。 設 G 是羣， H 是 G 的非空子集，且 H 關於 G 上的運算也構成羣 ，則稱 H 是 G 的子羣。

數學上，在給定拓撲空間X上的一個層(sheaf)(或譯束、捆)F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U) 。這個結構F(U) 和把開集限制(restricting)到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層(presheaf)和一個層相似，但它可能不可以粘起來。事實上，層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是局部性質，就像應用在函數上的層。

層用於拓撲，代數幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨着每個開集變化的代數數據，就可以用層。他們是研究局部有變化(依賴於所選開集的)的對象的全局工具。這樣，它們是研究有局部本質的實體的全局行為的自然工具，例如開集，解析函數，流形，等等。

作為一個典型的例子，考慮拓撲空間X，對於每個X中的開集U，令F(U) 為所有連續函數U→R的集合。如果V是U的開子集，則U上的函數可以限制到V上，而我們得倒映射F(U) →F(V) 。"粘合"描述了下列過程：假設U_i是給定的開集其併為U，對於每個i我們給定一個元素f_i∈F(U_i) ，一個連續函數f_i:U_i→R。如果這些函數在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得倒一個連續函數f:U→R，它和所有給定的函數f_i一致。所有集合F(U) 的類和限制映射F(U) →F(V) 成為一個X上的集合的層。進一步的，每個F(U) 是一個交換環，而限制映射是環同態，這使F成為X上的環的層。

作為很相似的例子，考慮一個微分流形X，對於X的每個開集U，令F(U) 為所有可微函數U→R的集合。這裏同樣的有粘合，並且我們得倒X上的環的層。另一個X上的層是，對於X的每個開集U給定所有定義在U上的可微向量場的向量空間。限制和粘合向量場和函數上的操作一樣，然後我們得倒流形X上的向量空間的層。