奇異積分

奇異積分是指以下的積分變換：

其中核函數

沿對角線

時是奇異的，而且當

趨近0時，使得

的大小漸近趨近

。

具體而言，奇點是這樣的

是大小

漸近為

。因為這樣的積分通常不可能是絕對可積的，所以嚴格的定義必須把它們定義為積分的極限。

為

，但實際上這是一個技術性問題。通常需要進一步的假設來獲得結果，例如它們在

上的有界性。

卷積類型的一個奇異積分是一個運算符

，它是通過在核心

上進行卷積來定義的，這個核心在

上是局部可積的，

假設內核滿足 ^[1]  ：

1.

的傅立葉變換的大小條件

，

2.平滑度條件：對於一些C> 0，

那麼可以證明

在

上有界並且滿足弱類型（1,1）估計。

屬性1.需要確保卷積與温和分佈

由主值積分給出

是L上的一個明確的傅里葉乘子。性質1或2都不容易驗證，並且存在各種充分條件。通常在應用程序中，也有一個取消條件

這是很容易檢查。例如，如果K是一個奇數函數，它是自動的。如果，另外，假設2和以下大小條件

那麼可以表明平滑條件。原則上也經常難以檢查，可以使用以下K的充分條件：

注意到這些條件對於Hilbert和Riesz變換是滿足的，所以這個結果是這些結果的延伸。

如果

關聯到Calderón-Zygmund內核

，則

是一個非卷積型奇異積分算子 ^[2]  ，

每當f和g平滑並且有不相關的支持時。這樣的操作符不需要在L上有界