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多重指標

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多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。
中文名
多重指標
類    別
表示法
所屬領域
數學

目錄

  1. 1 定義運算
  2. 2 應用範圍
  3. ▪ 多元微積分
  4. ▪ 偏微分算子

多重指標定義運算

一個n -維多重指標是一個由整數構成的向量
設
為多重指標，定義：
應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義：
（假設
）
設
定義
其中
命題：若i,k是非負的n維多重指標，且
則
按定義直接操作即可證明。

多重指標應用範圍

多重指標多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子：
多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成
其中
是n-維多元指標而
，以簡化冗長的表法
多項展開
萊布尼茨公式：設
存在夠高階的導數，則
泰勒展開式： 對一多元解析函數 f，當
充分小時有下述展開
其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。
對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式：

多重指標偏微分算子

一個形式上的 n 變元
-階偏微分算子能以多重指標寫成
分部積分：對有界定義域
上的緊支集光滑函數，我們有
此公式用以定義分佈與弱導數。 [1] 
參考資料
  • 1.    Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press.