基數指派

勢的概念可以依據函數的單射、雙射與滿射概念來闡述；比如透過單射，可以給出在整個全集上通過大小比較的預序關係

是單射

。

它不是真的排序，因為三分律不一定成立：如果

和

都為真，則通過康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理

為真，就是説A和B是等勢的，但作為集合它們可以不是相等的；“

三者至少一種情況成立”這一陳述等價於選擇公理。

不過多數關於勢和它的算術的有趣結果可以只通過 =c來表達。

基數指派的目標是把每個集合A指派到特定的唯一的一個集合，所指派的集合只取決於A的勢。這跟康托爾最初對基數的設想是一致的：取一個集合並把它的元素抽象為規範“單位”，再把這些單位收集到另一個集合中，使得有關這個集合唯一特殊的事情是它的大小。這類集合在

下會是全序的，而=c會變成真正的等號。不過，如 Y. N. Moschovakis 所説，這只是作為體現數學簡潔性的一個練習，你不會得到更多東西除非你“對下標過敏”。但是在集合論的各種模型中，有“真實”基數的各種有價值的應用。

在現代集合論中，我們通常使用馮·諾伊曼基數指派，它使用序數的理論與選擇公理和替代公理的全部能力。基數指派需要完全的選擇公理，如果我們想要像樣的基數算術和對所有集合的基數指派。 ^[1] 

形式上，假定選擇公理，一個集合X的勢，是使得在X和 α 之間有雙射的最小序數 α。這個定義叫做馮·諾伊曼基數指派。如果不假定選擇公理，我們需要採取別的方式。一個集合X的勢的最古舊的定義（康托爾隱含地使用着，而在弗雷格和《數學原理》那裏被明確提出），是等勢於X的所有集合的集合：這在ZFC或其他有關的公理化集合論中不可行，因為這個蒐集對於一個集合而言太大了，但這個定義在類型論、新基礎和有關係統中可行。但是，如果我們限制這個類為，同X等勢的那些對象中有最小階的集合的蒐集，則它就可行（這是Dana Scott發明的一個技巧：它可行是因為任何給定階的對象的蒐集都是一個集合）。