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埃爾米特多項式

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埃爾米特多項式得名於法國數學家夏爾·埃爾米特。
在數學中，是一種經典的正交多項式族；概率論裏的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到埃爾米特多項式；在組合數學中，埃爾米特多項式是阿佩爾方程的解；物理學中，埃爾米特多項式給出了量子諧振子的本徵態。 [1] 
中文名
埃爾米特多項式
外文名
Hermite polynomial
分    類
計算機
類    別
正交多項式
創始人
夏爾·埃爾米特
應    用
數學 物理學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. ▪ 正交性
  4. ▪ 完備性
  5. 3 微分方程

埃爾米特多項式定義

埃爾米特多項式有兩種常見定義。 [2] 
第一種是概率論中較為常用的形式（又記作：
）：
另一種是物理學中較為常用的形式（又記作：
）：
這兩種定義並不是完全等價的。它們之間的關係是：
概率論中常用第一種定義，因為
是標準正態分佈函數（數學期望等於0，標準差等於1）的概率密度函數。
前六個（物理學中的）埃爾米特多項式的圖像。
前六個概率學和物理學中的埃爾米特多項式
序號
概率學
物理學

埃爾米特多項式性質

多項式Hn是一個n次的多項式。概率論的埃爾米特多項式是首一多項式（最高次項係數等於1），而物理學的埃爾米特多項式的最高次項係數等於2。 [3] 

埃爾米特多項式正交性

多項式Hn的次數與序號n相同，所以不同的埃爾米特多項式的次數不一樣。對於給定的權函數w，埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。
（概率論）
（物理學）
也就是説，當m≠n時：
除此之外，還有：
（概率論）
（物理學）
其中
是克羅內克函數。
從上式可以看到，概率論中的埃爾米特多項式與標準正態分佈正交。

埃爾米特多項式完備性

在所有滿足
的函數所構成的完備空間中，埃爾米特多項式序列構成一組基。其中的內積定義如下：

埃爾米特多項式微分方程

概率論中的埃爾米特多項式是以下微分方程的解:
方程的的邊界條件為：u應在無窮遠處有界。
其中
是這個方程的本徵值，是一個常數。要滿足上述邊界條件，應取
∈
。對於一個特定的本徵值
，對應着一個特定的本徵函數解，即
。
而物理學中的埃爾米特多項式則是以下微分方程的解:
其本徵值同樣為
∈
，對應的本徵函數解為
。
以上兩個微分方程都稱為埃爾米特方程。
參考資料
  • 1.    B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
  • 2.    Fedoryuk, M.V., H/h046980, (編) Hazewinkel, Michiel, 數學百科全書, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
  • 3.    Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9