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單值化定理
鎖定
單值化定理(uniformization theorem)是黎曼曲面理論中最基本最重要的定理。單值化定理表明，大多數的情形下，黎曼曲面共形等價於單位圓D對某個富克斯羣G的商空間D/G，因此R上的解析函數論等價於定義在D上的對某個富克斯羣G自守的函數論，反之，整個黎曼曲面理論也能以這個特殊的表示為基礎進行討論，一個經典的問題是：給定一個D上的富克斯羣G，是否存在非常數亞純函數對於G是自守的，即黎曼曲面上是否存在非常數的亞純函數。龐加萊((J.-)H.Poincaré)具體構造Θ級數，後稱為龐加萊級數，以此證明對給定的G是自守的函數的存在，閉黎曼曲面的一個重要定理是黎曼-羅赫定理，它給出閉黎曼曲面上亞純函數構成的線性空間的維數，兩黎曼曲面，如果存在映一個為另一個的共形映射，則稱它們是共形等價的。關於閉黎曼曲面的模的黎曼問題稱：虧格為g(>2)的閉黎曼曲面的共形等價類集合Rg構成3g-3維複流形，這方面基礎性的工作是由弗裏克(R.Fricke)和泰希米勒(O.Teichmǚller)所做
[1]
。
- 中文名
- 單值化定理
- 外文名
- uniformization theorem
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 複變函數論(黎曼曲面)
- 相關概念
- 黎曼曲面，覆蓋空間等
- 類 型
- 數學術語
單值化定理基本介紹
單值化定理敍述如下：
任一黎曼曲面必共形等價於下述典型曲面之一：
1.擴充複平面
；
2.複平面C；
3.穿洞的複平面
；
4.環面，即
，Z表示整數集；
單值化定理相關介紹
單值化定理覆蓋空間
每個覆蓋映射
都具有曲線提升性質：即對每條曲線
及每個點
使得
，或者説對每個
，存在一條曲線
使得
且
，見交換圖(圖1)。
就稱為以
為起點的
在Y上的提升。
圖1
設Y是X的覆蓋空間
是覆蓋映射，若Y是單連通的，則稱Y為X的萬有覆蓋空間，由如下結論，我們可以進一步認識萬有覆蓋空間，Y為X的萬有覆蓋空間當且僅當相應的覆蓋映射具有萬有性質：對每個覆蓋映射
，其中Z為Riemann曲面以及對每對
使得
，存在惟一連續映射
使得
且有交換圖如2，即,
。使交換圖成立的h又稱為保網的，這是很形象的。
設
是萬有覆蓋映射，則對每對
使得
，由萬有性質，即對交換圖2中
的情形，存在惟一的保網同胚
使得
，此時h稱之為覆蓋變換，所有這樣由
確定的保網同胚映射，即覆蓋變換之集在複合運算定義的乘法下構成一個羣，稱之為覆蓋變換羣，記為
，它同構於X的基本羣
。
圖2
設
，對任一點
，令
設
為萬有覆蓋空間。若X是單連通的，那麼
是平凡的。由於
與
同構，所以它也是平凡的，即它只包含一個恆等覆蓋變換。這樣
是單葉的，從而是Y到X的同胚。進一步，
是雙方解析的，即Y與X是共形等價的。這説明了同一個Riemann曲面的兩個萬有覆蓋空間是共形等價的，因為它們互為萬有覆蓋空間。
對任一Riemann曲面X，我們以X上曲線的同倫等價類作為特徵將X的點區分為各個層葉，這樣做可使得曲面X上的每個“洞”被“捏”起來，從而建立X上的一個單連通的覆蓋Riemann曲面
——萬有覆蓋空間。為此，取一點a∈X，對任意
，讓
表示分別以a和x為起點和終點的X上的曲線的同倫等價類之集，定義
單值化定理單值化定理
單連通的Riemann曲面共形等價於Riemann球面
或複平面
或單位圓盤△。因此任一Riemann曲面X以球面
或複平面
或單位圓盤△為其萬有覆蓋空間。這樣，Riemann曲面X被分為橢球面或拋物面或雙曲面，根據它的萬有覆蓋空間為球面
或複平面
或單位圓盤△來確定，進一步研究得到穿孔平面
和環面T是拋物的，即它們的萬有覆蓋空間為複平面
就是萬有覆蓋映射，因
是單連通的，並且
