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和差化積
鎖定
- 中文名
- 和差化積公式
- 外文名
- Sum-to-product Identities/ Addition Formulas
- 適用領域
- 三角函數
- 應用學科
- 數學
- 所屬分類
- 數學公式
目錄
- 1 和差化積公式
- ▪ 公式
- ▪ 推導過程
- 2 平方形式的和差化積公式
- 3 記憶方法
- ▪ 只記兩個公式甚至一個
- ▪ 結果乘以2
- ▪ 只有同名三角函數能和差化積
- ▪ 乘積項中的角要除以2
- ▪ 使用哪兩種三角函數的積
- ▪ 餘弦·餘弦差公式中的順序相反與負號
- 4 記憶口訣
- 5 例題
和差化積和差化積公式
和差化積公式
和差化積推導過程
以下用和角公式證明之，由和角公式有：
兩式相加、減便可得到上面的公式（1）、（2），同理可證明公式（3）、（4）。
對於（5）、（6），有：
對於（7）、（8）、（9）、（10），也可用類似的方法推出。
證畢。
和差化積平方形式的和差化積公式
和差化積記憶方法
和差化積只記兩個公式甚至一個
可以只記上面四個公式的第一個和第三個。
第二個公式中的
，即
，這就可以用第一個公式。
同理，第四個公式中，
，這就可以用第三個公式解決。
如果對誘導公式足夠熟悉，可以在運算時把餘弦全部轉化為正弦，那樣就只記住第一個公式就行了。
用的時候想得起一兩個就行了。
和差化積結果乘以2
這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。正弦和餘弦的值域都是[-1,1]，其積的值域也應該是[-1,1]，而和差的值域卻是[-2,2]，因此乘以2是必須的。
也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式後，未抵消的兩項相同而造成有係數2，如：
故最後需要乘以2。
和差化積只有同名三角函數能和差化積
無論是正弦函數還是餘弦函數，都只有同名三角函數的和差能夠化為乘積。這一點主要是根據證明記憶，因為如果不是同名三角函數，兩角和差公式展開後乘積項的形式都不同，就不會出現相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。
和差化積乘積項中的角要除以2
在和差化積公式的證明中，必須先把α和β表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等於α和β，這兩個角應該是
和
，也就是乘積項中角的形式。
注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以2”。
和差化積使用哪兩種三角函數的積
這一點較好的記憶方法是拆分成兩點，一是是否同名乘積，二是“半差角”（α-β）/的三角函數名。
是否同名乘積，仍然要根據證明記憶。注意兩角和差公式中，餘弦的展開中含有兩對同名三角函數的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數的乘積。所以，餘弦的和差化作同名三角函數的乘積；正弦的和差化作異名三角函數的乘積。
由函數的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積，那麼α和β調換位置對結果沒有影響，也就是若把
替換為
，結果應當是一樣的，從而
的形式是
；另一種情況可以類似説明。
和差化積餘弦·餘弦差公式中的順序相反與負號
這是一個特殊情況，完全可以死記下來。
當然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如
內餘弦函數的單調性。因為這個區間內餘弦函數是單調減的，所以當α>β時，
小於
。但是這時對應的
和
在(0,π)的範圍內，其正弦的乘積應大於0，所以要麼反過來把
放到
前面，要麼就在式子的最前面加上負號。
和差化積記憶口訣
（一）
正加正，正在前，
餘加餘，餘並肩。
正減正，餘在前，
餘減餘，負正弦。
（反之亦然）
（二）
帥+帥=帥哥，
帥-帥=哥帥，
哥+哥=哥哥，
哥-哥=負嫂嫂。
（反之亦然）
（三）
口口之和仍口口，
賽賽之和賽口留，
口口之差負賽賽，
賽賽之差口賽收。
（四）
正和正在先，
正差正後遷，
餘和一色餘，
餘差翻了天。
（五）
正弦加正弦，正弦在前面，
正弦減正弦，餘弦在前面，
餘弦加餘弦，餘弦全部見，
餘弦減餘弦，負正弦來見。
（前提是角度
在前，
在後的標準形式）
（六）
和差化積：
同名和差三角積，（
或
：等式左邊只有同是正弦或同是餘弦才可以相加減。）
左是
和
，（
：等式左邊是先
後
）
右是兩角和與差。（
和
：等式右邊是
和
）
雙正SSC，（
：“正”表示兩個正弦中間的“+”，
即
）
雙負SCS，（
：“負”表示兩個正弦中間的“-”，
即
）
雙正C對正雙C，（
：“正”表示兩餘弦中間的“+”，
即
）
雙負C對負S。（
：“負”表示兩餘弦中間的“-”，
即
）
（七）
和差化積二倍半，和前函數名不變；餘弦穩正弦跳，餘弦相減取負號。
和差化積例題
已知
，且
，求
的值
解：將已知條件編號
①的平方+②的平方，得：
所以：
則：
計算可得：
①×②，得
所以
則
則
運用和差化積公式：
上式可變為：
所以
將
代入，
