周伯壎

周伯壎，1920年元月出生於安徽蕪湖市，祖籍湖南省長沙市。青少年時期隨父母生活在南京。中學就讀於南京金陵中學，畢業後升入金陵大學數學系，1942年畢業並留校任教。1946年參加當時政府教育部舉辦的全國統一留學考試，1947年赴美國芝加哥大學研究院隨代數學大師A.A.阿爾伯特（Albert）學習代數理論。在他的老師中還有著名的代數學家L.卡普蘭斯基（Kaplansky），S.麥克萊恩（Maclane）等。1949年獲芝加哥大學碩士學位。後因阿爾伯特教授到外地工作，他轉入奧勒岡（Oregon）大學，1951年獲數學博士學位，同時在奧勒岡大學任教。其時，新中國成立不久，他了解到祖國的教育與建設事業急需人材，毅然響應祖國的號召，回到母校，被金陵大學聘為副教授。1952年全國高校院系調整時，他調到南京大學，1963年被聘為南京大學教授。

1920年元月 出生於安徽省蕪湖市。

1942年 畢業於金陵大學數學系。

1947年 赴美芝加哥大學追隨A.A.阿爾伯特等研究代數。

1949年 獲芝加哥大學碩士學位。

1951年 獲奧勒岡大學數學博士學位。

1951年 回國任南京金陵大學副教授。

1952年 任南京大學數學系副教授，1963年被聘為教授。

1978年 任南京大學數學系副系主任。

1982-1985年 任南京大學數學系系主任。

1986-1989年 南京大學圖書館館長。

1982-1988年江蘇省數學會第三屆、第四屆理事長。

周伯壎先生是我國首批博士生導師，曾任南京大學校務委員會委員，校學術委員會副主任，南京大學數學系系主任，南京大學圖書館館長，江蘇省數學會第三、第四屆理事長，江蘇省政協常委，民盟中央委員等職；並任《數學研究與評論》副主編，創辦並任《南京大學學報數學半年刊》主編。現任南京大學數學系教授、江蘇省數學會名譽理事長，南京金陵中學校友會名譽會長，金陵大學南京校友會常務副會長等職。在擔任江蘇省數學會理事長期間，他主持開展了很多學術活動和學會活動，為江蘇的數學教育與科學研究作出了重要貢獻。

周伯壎先生長期從事數論、環論、同調代數及代數K理論等方面的教學與研究工作。他非常重視探索新的研究方向。從上世紀五十年代初開始，他先後研究過施尼雷爾曼 （Schnirelmann）密率理論, 交換環的結構，多重線性代數以及左模張量積。1966年，他寫的《高等代數》出版（“文革”時延期發行），深受歡迎，多次重印，印數達17萬冊之多。1989年，對原《高等代數》作了較大的修改與增刪，加進了諸如辛空間、張量與外代數等新內容。1978年，“文革”剛結束，江蘇省科委為周伯壎先生在左模張量積上所做的工作，特頒給他江蘇省科技進步二等獎。1979年7-8月，中國數學會代數學科組在哈爾濱召開了一次由近兩百人蔘加的同調代數研討會，周伯壎先生在會上主講“範疇與同調代數”，從而將這門在國外已研究了三十餘年的學科系統地介紹給了中國學者。他的講稿後經修改與增刪，定名為《同調代數》，於1988年作為《現代數學基礎叢書》由科學社出版。1982年4月，周伯壎先生在南京大學主辦了第一屆全國代數學術研討會。1989年他主持的科研項目“環的同調代數與K理論”獲得江蘇省科技進步三等獎。1995年他的另一科研項目“代數結構的同調與K理論”獲得國家教委科技進步三等獎。

1 周伯壎.高氏整數集密率的一個定理.數學學報，1952，2（1），33-38

2 L.Cheo（周伯壎）.On the density of sets of Gaussian Integers.Amer.Math.Monthly，1951，58：618-621

3 L.Cheo（周伯壎）.A remark on theα+βTheorem：Proc，of the Amer.Mathe.Soc.，1952，3：175-178

4 周伯壎.關於堆壘整數集的密率.1955，1：43-48

5 周伯壎.關於素性環，數學學報，1956，6：542-549

6 周伯壎.關於某些素性環上的特殊化環.1958，1：19-26

7 周伯壎.關於整數和集的漸近密率.1962，2：39-50轉載於高等學校自然科學學報，數學，力學，天文學版，1964，試刊第2期，126-138

8 周伯壎.左模的張量積與範疇.1981，1：1-15

9 周伯壎.左模的張量積及其同調維數.數學研究與評論，1981創刊號，17-24

10 周伯壎.關於正矩陣的次特徵值.南京大學學報（數學專刊），1981，108-114

11 周伯壎.左模的張量積與三複形.南京大學學報（自然科學），1982，2：239-253

12 周伯壎.數學：代數學（環論）.自然科學年鑑，1984，21-27

13 周伯壎.代數K-理論的源起及其發展概況，南大學報數學半年刊.1987，2：28-32

14 周伯壎.高等代數.北京：高等教育出版社，1966

15 周伯壎.高等代數基礎.北京：高等教育出版社，1989

16 周伯壎.同調代數.北京：科學出版社，1988

17 Zhou Boxun, Tong Wenting, On Homological dimensions over coherent rings. Proc. of the First China-Japan Int, Sym. on Ring Theory,Okayama, Japan, 1992, 192—196

18 Zhou Boxun, Tong Wenting. Some Results on Homological Algebra and Module Theory. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics,Vol.181, 301—316, Decker

19 Zhou Boxun, Tong Wenting. Some progress in algebraic K-theory in China, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Vol.181,317—332, Decker ^[1] 

周伯壎先生20世紀50年代初曾研究史尼雷爾曼（шнирельман）密率（下稱史氏密率）的理論。在加法數論中，若A與B都是正整數的集合，它們的史氏密率依次為α與β，以γ表示和集A+B的史氏密率，則求γ與α、β的關係是三四十年代加法數論中的熱點問題之一，當時稱為α+β問題，許多數論學家都研究此問題。周伯壎在《關於堆壘整數的密率》一文中列出了其中5位著名數論學家們所得到的不等式，這裏最好的結果顯然是曼恩（Mann）的，他得出了γ≥α+β的結論。為了驗證曼恩的定理能否再改進，周伯壎用L.Cheo的名義，發表了《A Remark on α+β theorem》的文章，此文中證明了下述定理：任給3個非負數α、β與γ，只要0≤α+β≤γ≤1，就必存在正整數集A與B，使A、B與A+B的史氏密率相應為α、β、γ。在這個觀點下，顯然曼恩的不等式是最好可能的。事實上，這個證明是構造性的，A與B的構造僅依賴於α，β與γ這三個數，不受其他條件的限制；若對A與B再加某種限制，曼恩不等式中的等號是可以去掉的。（見《關於堆壘整數的密率》一文的命題。）

其後，周伯壎又將史氏密率的概念推廣到高斯整數集上，證明了一些與整數和集情況相類似的定理；但也特別指出，對他的定義，曼恩定理不能推廣到高斯整數集上。這些結果（曾在美國數學會洛杉磯地區分會中報告）發表後，受到密率數論學家們的注意。E.愛爾迪希（Erds）曾在《數學評論》上發表了他對這些論文的評論，德國數學家奧斯特曼（Ostman）與美國數學家曼恩都在他們的專著中提到這些結果。

1952年，周伯壎又發表了關於高斯整數集的史氏密率的一個更深入而複雜的結果。在加法數論中，漸近密率是一個重要的概念與理論，它與史氏密率很接近，但有更為豐富的內涵。設A與B都是正整數的集合，它們與A+B的漸近密率相應為α′β′與γ′。從20世紀30年代到50年代，許多著名的數論學家都在尋求γ′的下界，例如P.愛爾迪希（Erds），奧斯特曼，羅爾巴赫（Rohrbach），克洛特（Klter）等等，像創造奧運會的記錄一樣，一位數論學家得出了一個結果，另一位數論學家又得出了一個更好的結果，如此不斷髮展。與史氏密率所不同的是在漸近密率理論中，經常可以考慮A與B本身的性狀。例如，愛爾迪希曾證明：若1∈B，則，而奧斯特曼則推廣了愛爾迪希的結果，他證明了：若1，2，3，…，K-1都屬於B[1]或B含任意K個連續正整數，則。周伯壎在《關於堆壘整數的密率》一文中又證明了：在奧斯特曼的條件下，，這裏β是B的史氏密率。另一方面，也可以假定B是自然數的一個漸近基底，λ為B的漸近平均階數，羅爾巴赫等數學家先後證明了，與，…等。假定，γ是一個自然數，周伯壎在《關於整數和集的漸近密率》一文中十分巧妙性地求得一個初等函數f（α′，γ，λ），使γ′≥f（α′，γ，λ）。

加法數論是數論這門學科中最重要的一個方面，其中有許多很深奧的理論和方法，密率論是其中之一，它提出了許多使人感興趣以至於使某些數學家終身進行研究的課題，例如哥德巴赫猜想就是其中之一。讓P={3，5，7，11，…}為奇素數的序列，已知某漸近密率為0，如果能證明P+P的漸近密率等於1/2，那麼就必然幾乎所有的偶數都是兩個奇素數之和，這就向哥德巴赫猜想跨進了一大步。雖然近數十年來研究密率論人數較少，但這並不説明密率論的研究已經畫上句號。相反，密率論中所提出的問題有些尚未解決，還有可能再提出新的問題，因此仍有繼續研究與發展的必要。

早在40年代初，周伯壎在成都金陵大學學習與工作的時期，就已研究過循環羣的單同態問題，並在中國科學社30週年紀念會暨各學術團體成都地區聯合年會上宣讀了他的有關論文。金陵大學原在南京，1937年抗戰開始後遷往成都，客居於華西大學校園內。當時金陵大學與在成都的幾所大學中，除了幾本陳舊的教科書外，無任何其他資料。40年代前期，抗戰正處在最艱苦的階段，與外界的交流已完全隔絕，不知道外界的學術發展的動態。周伯壎當時考慮到循環羣的同構（當時稱為同型），其後認為可考慮同構到更大的循環羣或甚至一般的交換羣內。後來才知道，在國外這種“同構到內”的概念叫做“單同態”，在羣範疇中叫單態射。

50年代初，周伯壎研究了交換環的結構。在一個交換環中，有多種方式來分解其任一個理想，使其可表達成某種類型之理想的交或並的形式。1951年，匈牙利數學家L.富克斯（Fuchs）定義了一種理想，名為primal理想，用來分解表達交換環中的理想。由於其定義中帶有“素性”，但又不是素理想，所以周伯壎將primal一詞譯成“素性”。他考慮到，所有理想都是素性理想的整環必有很特殊的性質。誠然，在《關於素性環》一文中，他證明了一個整環的所有理想都是素性理想（這種環稱為素性環），其充要條件是其所有素理想的集按包含關係組成一個全序集。這顯示了素性環是界於局部環與賦值環之間的一類環，這是一個很有趣的現象，因此他又研究了素性環是賦值環的充要條件。

在四五十年代，A.韋伊（Weil），諾斯科特（Northcott），志村五郎（Shimura）等這些代數幾何學家與代數學家們對局部環與離散賦值環上的特殊化問題作了研究，並且主要地考慮了它們在代數幾何特別是仿射幾何學上的應用。素性環既然是界於局部環與賦值環之間的一類環，所以研究素性環的特殊化問題就是一件很自然的事了。周伯壎在《關於某些素性環上的特殊化環》一文中，對某些素性環上的特殊化環作了研究，得出了一些結果，更充實了素性環的內涵。

50年代的中國，基礎數學的理論研究基本上處於閉關自守狀態，中國數學家的研究成果除了《數學學報》、《中國科學》以外，就只能在各大學的學報上發表，而且只能用中文寫作，最多加上簡短的外文摘要，外國人看不到，也根本看不明白。至於國外的科技進展情況，中國數學家們也只能從出版三五年（甚至更長）後的外國書刊上看到，往往已成明日黃花。不僅如此，在1958年，由於數學界中眾所周知的原因，中國的數論、抽象代數、幾何學與拓撲學突然變成批判的對象，從事這些學科的同志紛紛改行，連作為代數教研室主任的周伯壎本人也被調到南京大學應用數學教研室去當主任了。在應用數學教研室，周伯壎開了概率論與排隊論兩門課程，並且組織了對策論討論班，為後來出現的南京大學數學系應用數學專業作了準備。

1959年，周伯壎又被調回代數組，擔任幾何代數教研室主任。起初，幾何代數教研室共有5位教師，要擔任全部高等代數與幾何課程的教學任務，工作十分煩重。在周伯壎一再堅持下，又招收了代數，幾何與拓撲等專門化方向的學生，使這3門學科的教學工作能夠延續下去。周伯壎認為這些學科的重要性是不應該否定的。雖然由於外界的干擾，六一級學生分配又很不理想，學生大都不願進這3個組，在周伯壎的動員鼓勵下，還是有少數學生完全為了學術事業而願意進入這些專門化，學習艱深抽象的課程。

六二級的代數專門化的學生只有兩人，周伯壎仍一絲不苟地認真備課，為他們講授代數函數論這門課程。他嚴格而又詳盡地講解“位”與“除子”的理論，用以討論解決代數函數論中所提出的問題，特別是阿貝爾（Abel）積分的問題，因為這是用途很廣的一類積分。其後在代數討論班中，還討論了莫德爾（Mordell）猜想與阿布海恩卡（Abhyankar）的分歧理論。可是好景不長，到了1964年，由於種種的原因，代數討論班不得不停止，專門化不能繼續（幾何，拓撲也一樣），連基礎課高等代數也被撕裂得不成體系。代數與數論的科研與教學工作在全國範圍也幾乎完全停止。雖然在70年代，南京大學代數組在矩陣論方面也作了一些工作，但是數學家們的春天真正的到來還是在1978年提出改革開放以後，那時的周先生已是58歲的後補老人了。

周伯壎一生都在為振興和發展中國的數論與代數學而努力。1972年，尚在“文化大革命”期間，周先生就已在南京大學數學系中提出恢復並重新組織討論班的建議，為此他本人曾在數學專業全體教師大會上作了“矩陣的特徵值問題”的專題報告，並將他的講稿印發給每一位老師，以提起大家的興趣。正是這樣，矩陣論討論班畢竟是組織起來了，南大數學系師生在矩陣特徵值方面作了一些有意義的工作，就是從這裏開始的。

周伯壎在南京大學工作40餘年，他授課一絲不苟，條理清晰明瞭，語言精闢風趣。他備課認真，常講常新。他上課從不帶講稿，不論是繁難的論證，冗長的計算，總是在黑板上嚴格推演，條理清楚，分析詳盡。20世紀60年代周伯壎寫的《高等代數》深受歡迎，多次重印，達20萬冊之多。80年代，他又寫了《高等代數基礎》，對原寫的《高等代數》有較大的修改與增刪，加進了諸如辛空間，張量與外代數等內容。他培養了17位碩士（其中有6位美國），並在佟文廷教授協助下，培養了7位博士。

周伯壎教授是研究代數的，但他也講授其他方向的課程，他教過概率論與排隊論、複變函數論、數學物理方程等。他小學五年級開始學英文，高中時已能看狄更斯著的《雙城記》這樣的英文名著。50年代在美國考博士要考兩門外文，周伯壎考的是德文與法文，1953年他突擊學習俄文，其後他與黃正中、莫紹揆、徐家福3位教授合譯了蘇聯А.И.馬庫謝維奇（Маркущвич）的《解析函數論》，他擔任三四兩章20餘萬字的翻譯。該書於1956年由高教出版社精裝出版，其內容豐富，堪稱是一本難得的好書。

周伯壎教授性格豁達，虛懷若谷，平易近人。他認為一個人重要的是要保持精神樂觀，這樣才能思想活躍，對身體，對做學問大有益處。他博覽羣書，通古博今，文史哲藝、理工農醫各方面的書他都讀。他尤其愛好音樂，並精通音律。他有一個習慣，喜歡讀書工作到深夜，困了喝一杯咖啡，提提精神，累了在鋼琴上彈奏一支曲子來消除疲勞。他生活得很充實，他接待過眾多的外國友人與學者，他用嫺熟的英語和他們交談，從國外的歷史文化談到中國的歷史文化，從人文風俗到體育藝術；談到音樂，他對肖邦的夜曲，舒伯特的小夜曲，莫扎特的奏鳴曲……領悟很深，外國友人總是被他這一切深深地感染着。

周伯壎經常對他的學生們講，要尊重他人的勞動，學術上要百家爭鳴才能百花齊放。他甘為人梯，做鋪路石，為年輕一代人的成長創造條件。他熱愛黨、熱愛人民、熱愛祖國、熱愛社會主義事業。周伯壎早已年過古稀，“夕陽無限好，人間重晚晴”，他至今仍在數學領域中辛勤耕耘，他參加了科學出版社發行的《大英百科全書》，蘇聯的《大百科全書》的翻譯工作，他常説：“人活着不是為名為利，而應該問自己為人民做了什麼？留給後人有幾本好書，幾篇好文章？”不求聞達，但求奉獻，這就是周伯壎教授的一生追求。