合同變換

合同變換，亦稱全等變換或正交變換，是歐氏幾何中的一類重要變換，即使圖形變為其全等圖形的變換。如果歐氏平面（平面幾何）或歐氏空間（立體幾何）的點變換，把任意線段的兩個端點變成等長線段的兩個端點，則稱其為合同變換。合同變換把幾何圖形變成合同（即全等）圖形，保持線段長度不變，保持角度不變，並把直角變成直角。在n維歐氏空間（包括普通平面和空間）中，也把保持兩點間距離（即線段長度）不變（因而角度也不變）的點變換稱為正交變換或合同變換。正交（合同）變換把歐氏空間中由兩兩正交的單位向量組成的標準正交基變成標準正交基。 ^[1] 

全等變換有很多種，常見的有旋轉、平移、對稱（又叫反射）變換等。

平移變換(translation transformation)簡稱平移或直移，歐氏幾何中的一種重要變換，即在歐氏平面上(歐氏空間中)，把每一點按照已知向量A的方向移到P，如此產生的變換稱為平面上(空間中)沿向量A的平移變換，簡稱平移。

平移是第一種正交變換。平移變換的逆變換也是平移變換，兩個平移變換的乘積仍是平移變換。所有平移變換的全體構成一個羣，稱為平移羣。平移變換的概念可以推廣到n維歐氏空間。 ^[1] 

若一個平面圖形K在平面剛體運動m的作用下仍與原來的圖形重合，就説K具有對稱性，m叫做K的對稱變換。

一個平面圖形的兩個對稱變換a與b的合成（先做變換a，再做變換b）仍然是這個平面圖形的對稱變換，記作b·a。 ^[2] 

1、對於任意對稱變換a與恆等變換I，都有a·I=I·a。

2、一般地，平面圖形的對稱變換不滿足交換律（除恆等變換外）。

3、平面圖形的對稱變換滿足結合律。 ^[2] 

1、若兩個對稱變換a、b滿足a·b=b·a=I，那麼b（或a）叫做a（或b）的逆變換，記作a^–1=b（或b^–1=a）。

2、b·a的逆變換是a^–1·b^–1。 ^[2] 

1、如果一個多項式F經過字母的替換仍與原來的多項式相等，那麼就説F具有對稱性，上述字母的替換叫做多項式的對稱變換。

2、設一個多項式的下標組成的集合為{1,2,3,…,n}，σ是n元對稱羣Sn中的一個置換，如果對多項式的下標進行置換σ後仍與原來的多項式相等，那麼置換σ就叫做多項式的對稱變換。

3、如果一個n次多項式的對稱變換是Sn中的全部變換，這樣的多項式叫做對稱多項式。 ^[2] 

歐氏幾何中的一種重要變換。即在歐氏平面上(歐氏空間中)，讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角，變成另一點P′，如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換。此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸)，該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換。

在平面內，把一個圖形繞點O旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，旋轉的角叫做旋轉角，如果圖形上的點P經過旋轉變為點Pˊ，那麼這兩個點叫做這個旋轉的對應點。 ^[1] 

①對應點到旋轉中心的距離相等（意味着：旋轉中心在對應點所連線段的垂直平分線上）。

②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。

③旋轉前、後的圖形全等。

旋轉三要素：

①旋轉中心；

②旋轉方向；

③旋轉角度。

注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣。

旋轉變換的作圖：①確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度；②找出能確定圖形的關鍵點；③連結圖形的關鍵點與旋轉中心，並按旋轉的方向分別將它們旋轉一個角，得到此關鍵點的對應點；④按原圖形的順序連結這些對應點，所得圖形就是旋轉後的圖形。 ^[1] 

1、在合同變換下，直線變為直線，線段變為線段，射線變為射線；兩直線的平行性、垂直性，所成的角度都不變；共線點變為共線點，且保持順序關係不變；直線上A、B、C三點的簡比AC：BC不變。

2、在合同變換下，三角形、多邊形和圓分別變為與它們全等的三角形、多邊形和圓；封閉圖形的面積不變。比如：平移，旋轉，鏡像對稱。 ^[1] 

設A，B都是數域F上的n階矩陣，如果存在數域F上的一個n階可逆矩陣P，使得P^TAP=B， 那麼就説，在數域F上B與A合同。 ^[3]