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可微性

鎖定
函數的連續性、可導性、可微性是高等數學中的重點和難點內容。一元函數可微與存在導數是等價的。而對於多元函數，偏導數即使都存在，該函數也不一定可微。
中文名
可微性
外文名
differentiability
學    科
數學
領域範圍
數學分析
屬    性
導數和微分學

目錄

  1. 1 一元函數可微性
  2. ▪ 定義1
  3. ▪ 定理1（可微的充要條件）
  4. 2 二元函數可微性
  1. ▪ 定義2
  2. ▪ 定理2（可微的必要條件）
  3. ▪ 定理3（可微的充分條件）
  4. 3 多元函數的可微性
  1. ▪ 定義3
  2. ▪ 定理4（可微的充要條件）

可微性一元函數可微性

可微性定義1

設函數
定義在點
的某鄰域
上，當給
一個增量
，
時，相應地得到函數的增量為
如果存在常數A，使得
能表示成
則稱函數f在點
可微，並稱（1）式中的第一項
為f在點
的微分，記作 [1] 
由定義可見，函數的微分與增量僅相差一個關於
的高階無窮小量，由於
是
的線性函數，所以當
時，也説微分
是增量
的線性主部。
容易看出，函數f在點
可導和可微是等價的。

可微性定理1（可微的充要條件）

函數f在點
可微的充要條件是函數f在點
可導，而且（1）式中的A等於
。 [1] 

可微性二元函數可微性

可微性定義2

設函數
在點
的某領域
上有定義，對於
中的點
，若函數f在點
處的全增量
可表示為
其中A,B是僅與點
有關的常數，
，
是較
高階的無窮小量，則稱函數f在點
可微。並稱（2）式中關於
的線性函數
為函數 f在點
的全微分 [2]  ，記作
由（2）（3）可見
是
的線性主部，特別當
充分小時，全微分
可作為全增量
的近似值，即

可微性定理2（可微的必要條件）

若二元函數f在其定義域內一點
可微，則f在該點關於每個自變量的偏導數都存在，且（2）式中的 [2] 
因此，函數f在點
的全微分（3）可惟一地表示為
若函數f在區域D上的每一點
都可微，則稱函數f在區域D上可微，且在D上全微分為
我們知道，一元函數可微與存在導數是等價的。而對於多元函數，偏導數即使都存在，該函數也不一定可微。那麼不禁要問：當所有偏導數都存在時，還需要添加哪些條件，才能保證函數可微呢？

可微性定理3（可微的充分條件）

若函數
的偏導數在點
的某領域上存在，且
與
在點
連續，則函數f在點
可微 [2]  。
注意 偏導數連續並不是函數可微的必要條件，如函數
在原點
可微，但
與
卻在點
不連續。若
在點
的偏導數
連續，則稱f在點
連續可微。

可微性多元函數的可微性

類似地可定義n元函數
在點
可微的概念。

可微性定義3

設函數
在點
的某領域
上有定義，任給
的改變量
，使
，其中
。若函數
在點
的全改變量
可表示為
其中
是僅與點
有關，而與
無關的常數，則稱函數
在點
可微 [3]  ，並稱
為函數
在點
的全微分，表示為
，即

可微性定理4（可微的充要條件）

函數
在點
可微的充分必要條件是 [3]  ：
其中，
，
，
是僅與
有關，而與
無關的常數。
參考資料
  • 1.    華東師範大學數學系．數學分析（第四版 上冊）．北京：高等教育出版社，2010.7：114-116
  • 2.    華東師範大學數學系．數學分析（第四版 下冊）．北京：高等教育出版社，2010.6：115-120
  • 3.    龔循華．數學分析講義．北京：高等教育出版社，2016.8：170-171