十七角星

卡爾·弗里德里希·高斯,德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數學家，是近代數學奠基者之一，18歲時發現了質數分佈定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理後，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨後專注於曲面與曲線的計算，併成功得到高斯鐘形曲線（正態分佈曲線）。其函數被命名為標準正態分佈（或高斯分佈），並在概率計算中大量使用。1799年高斯於黑爾姆施泰特大學因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文台台長直至逝世。高斯的肖像已經被印在從1989年至2001年流通的10元面值德國馬克的紙幣上。 ^[1] 

先計算或作出cos(360°/17)

設正17邊形中心角為a，則17a=360°,即16a=360°-a

故sin16a=-sina，而

sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a

因sina不等於0，兩邊除之有：

16cosacos2acos4acos8a=-1

又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函數積化和差公式)等

注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(誘導公式)等，有

2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1

令

x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a

y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

有：

x+y=-1/2

又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

經計算知xy=-1

因而：x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4

其次再設：x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

故有x1+x2=(-1+√17)/4

y1+y2=(-1-√17)/4

最後，由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

可求cosa之表達式,它是數的加減乘除平方根的組合, 故正17邊形可用尺規作出

給一圓O，作兩垂直的半徑OA、OB，

在OB上作C點使OC=1/4OB，

在OA上作D點使∠OCD=1/4∠OCA 　作AO延長線上E點使得∠DCE=45度。

作AE中點M，並以M為圓心作一圓過A點，

此圓交OB於F點，再以D為圓心，作一圓

過F點，此圓交直線OA於G4和G6兩點。

過G4作OA垂直線交圓O於P4，

過G6作OA垂直線交圓O於P6，

則以圓O為基準圓，A為正十七邊形之第一頂點P4為第四頂點，P6為第六頂點。

以1/2弧P4P6為半徑，即可在此圓上截出正十七角星的所有頂點。 ^[2] 

因為360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用該方法作正十七邊形總誤差為17*4′=68′，在不要求十分精確的情況下還是可行的。 作法如下：1.先畫一條直線，用圓規在上面截取5條相等線段，(儘量越短越好),再截取之前四條線段的和，接續之前畫的線段。這樣，如果每條小線段算作0.1的話，那麼整條線段就是1.8。 2.用圓規截取之前5條小線段的長，畫5次，這樣這條線段就是5。1.8/5=0.36。準備工作完畢！ 3.另作一條直線，作垂線，1.8的線段作為對邊，5的線段作為斜邊，那個最小的鋭角即是近似的360°/17的角。以其頂點為圓心，重複作角直至閉合。畫一大圓，連接其與17條射線的交點，即可。

大多數的同學認識數學王子—高斯(GAUSS.德國數學家西元1777年~1855年)是由國中數學課本講等差級數時有這一則故事。據説高斯在幼年時，老師出了一道複雜的計算題，即「求由1到100所有整數和」，但高斯卻令人驚訝的在幾秒內就算出它的正確答案為〝5050〞。這使他的老師再也不敢看不起鄉下小孩，進而使老師更賣力地幫助高斯，直到他無法教給高斯更進一步的數學知識。 ^[1] 

高斯不但解決了正十七邊形的作圖問題，而且也知道在理論上，用圓規和直尺作圖，哪些正多邊形可以做到，哪些是不能做到。他的定理説：

正n多邊形可以尺規作圖之主要條件是n可以寫成，其中都是不相同的費馬質數。所謂費馬質數就是形如Fn=[2^(2^n)]+1的質數，法國數學家Pirre Fermat（費馬1601-1665）曾研究這些數並猜想所有型如的數皆為質數，這是不對的。Euler（萊昂哈德·歐拉1707~1783）發現含有合數641。 ^[2]