畢達哥拉斯三元數組

畢達哥拉斯三元數組(Pythagorean triple)亦稱勾股數組，又稱商高數組，是一個著名的不定方程問題，指三元二次不定方程的正整數解。若正整數x，y，z能使x²+y²=z²成立，則(x，y，z)是一個畢達哥拉斯三元數組 ^[2]  。

當(x，y，z)=1時，則稱(x，y，z)為本原畢達哥拉斯三元數組。找出所有畢達哥拉斯三元數組就等同於求出不定方程

的所有正整數解。本原畢達哥拉斯三元數組亦稱為方程(1)的本原解，它有以下性質：

1.若(x，y，z)是滿足方程(1)的本原畢達哥拉斯三元數組，則x，y中有且僅有一數為偶數。因此，z必為奇數。

2.若(x，y，z)是滿足方程(1)的本原畢達哥拉斯三元數組，且設x為偶數，則存在正整數m和n，m>n，(m，n)=1，m

n(mod 2)，能使x=2mn，y=m²-n²，z=m²+n²成立。

3.若x=2mn，y=m²-n²，z=m²+n²，則(x，y，z)是滿足方程(1)的畢達哥拉斯三元數組。如果還有m>n>0，(m，n)=1和m

n(mod 2)，則(x，y，z)是本原畢達哥拉斯三元數組。

中國古代數學書《周髀算經》中記載了託古傳聞商高答周公：“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”。説明至少在成書時已經知道方程(1)的一個特解。畢達哥拉斯(Pythagoras)創立畢達哥拉斯學派，在數學方面給出了方程(1)的部分正整數解，後被歐幾里得(Euclid)記入《幾何原本》中，並把表達直角三角形三邊關係的(1)式稱為畢達哥拉斯定理。費馬(P.deFermat)從1637年開始對丟番圖(Diophantus)的《算術》進行評註，導致他提出了在數論發展史上非常重要的10個問題，其中有3個與勾股數組有關的問題是：

1.形如4n+1的素數能夠而且只能夠以一種方式表達為兩個平方數之和。1749年，歐拉(L.Euler)已給出了證明。近代有人把素數p=x²+y²中的x，y具體表示為p=(s(r)/2)²+(s(n)/2)²，其中r，n滿足勒讓德符號

並且

2.每一個正整數能夠表成四個整數的平方和(參見“華林問題”)。

3.不定方程x⁴+y⁴=z²，(x，y)=1，沒有xy≠0的整數解。

還有一個與畢達哥拉斯三元數組有關的猜想：設(x，y，z)是滿足不定方程(1)的畢達哥拉斯三元數組，a，b，c∈Z₊，且滿足x^a+y^b=z^c，則a=b=c=2，此猜想仍未徹底解決 ^[2]  。