加性數論

加性數論(additive theory ofnumber) 又稱堆壘數論，是關於“加性問題”的一個數論分支。它研究的典型問

題是：設

是全體非負整數的集合，

是的有限個或可數個子集，試判定對

中的每一個n，方程

是否可解或其解數

，其中

。這類問題與整數集合的加法性質有關。堆壘數論的歷史也很古老，費馬等人就開始了堆壘數論的某些研究。以下是幾個著名的堆壘數論問題 ^[2]  。

設整數

，由

確定——個數列

，屬於這個數列的整數稱為m階多角數。其通項為：

。易知，4角數就是平方數。1636年，費馬猜測：每個自然數都可以表示為m個m階多角數之和。拉格朗日於1772年證明了m=4的情況；勒讓德於1798年證明了m=3的情況；1813年，柯西證明了，這個猜測，解決了多角數問題 ^[2]  。

求不定方程

的整數解的個數

的問題，其中s是給定的正整數。例如

。

1829年，雅可比對

予以證明，還證明了

。1919年，哈代等人得到了

時，

的漸近公式。現在對s≤24，均已得出

的具體表達式。1926年克洛斯特曼，1962年埃斯特曼分別討論了形如

的平方和問題，拓廣了平方和問題，開拓了一系列新的領域 ^[2]  。

哥德巴赫問題是堆壘數論亦是整個數論最有魅力的問題之一(見哥德巴赫猜想)。

1770年，華林推測：任意正整數能夠用不超過4個平方數的和、不超過9個立方數之和或不超過19個四次方數之和來表示。意思是：對任意給定的整數k≥2，必存在一個正整數

，使得每個正整數n必是

個非負的k次方數之和。即不定方程

對所有的整數n≥0有非負整數解

。這就是華林問題(還包括解的數目及極值問題) ^[2]  。

1909年，希爾伯特證明了

的存在性。1943年林尼克用密率法給出

存在性的另一個證明。

華林還猜測

的最小值

。1770年拉格朗日證明了

；1909年威弗裏奇證明了

。設

為使方程(1)對充分大的n可解的

的最小值，易證

。利用

的上界估計，人們基本上完成了對

的探討：當

時有條件

時，

。1957年，馬勒爾證明當k充分大時條件一定成立；1964年，斯泰姆勒爾證明此條件存

時成立。1964年陳景潤證明

；1985年巴拉薩佈雷尼安等證明了

。

20世紀20年代，哈代等人用圓法研究了華林問題。他們對方程(1)的解數作了估計。1938年、1947年和1957年，華羅庚三次改進估計的結果。哈代等人猜測：當

時，

；其他情形，

。易證

時，

；其他情形，

。對解數估計的改進同時也改進了對

的上界估計。1939年達文波特證明了

；1947年林尼克證明了

；1959年維諾格拉多夫證明了，當

時，

。卡拉楚巴進一步改進為

，這是目前的最好結果。

華林問題可作各種推廣。例如：(1)華林-哥德巴赫問題，即把方程(1)中的

限制為素數。對此問題的研究，華羅庚和維諾格拉多夫有重要貢獻。(2)多項式華林問題，把方程(1)中的項

換成

，這裏

是整值多項式；或更一般地換成

，其中

為整值多項式。當取

時，即為多角數問題。對多項式華林問題，華羅庚做出許多著名的工作。(3)代數數域上的華林問題，或者任意數域上的華林問題。對此問題，西格爾有重要貢獻 ^[2]  。