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利薩茹曲線

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數學上，利薩茹（Lissajous）曲線（又稱利薩茹圖形、李薩如圖形或鮑迪奇(Bowditch）曲線)是兩個沿着互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。
納撒尼爾·鮑迪奇在1815年首先研究這一族曲線，朱爾·利薩茹在1857年作更詳細研究。
中文名
利薩茹曲線
外文名
Lissajous Curve
別    名
利薩茹圖形
別    名
李薩如圖形
鮑迪奇曲線
方    程
x=asint，y=bsin(nt+φ)

目錄

  1. 1 數學定義
  2. 2 性質
  3. 3 特別情況
  4. 4 在電子學上的應用

利薩茹曲線數學定義

利薩茹曲線由以下參數方程定義：
其中
。
稱為曲線的參數，是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數，則
，參數方程可以寫作：
其中
。

利薩茹曲線性質

  • 若
    為無理數，曲線在長方形
    中稠密。
  • 若
    為有理數，
    • 曲線是
      次代數曲線若
      對奇數
      ，或
      對偶數
      。
    • 曲線是
      次代數曲線的一部分若
      對奇數
      ，或
      對偶數
      。
  • 若
    為偶數而
    ，或若
    為奇數而
    ，則曲線是第個切比雪夫多項式
    的曲線的一部分。

利薩茹曲線特別情況

  • 若
    ，則曲線是橢圓。
    • 若
      ，則這橢圓其實是圓。
    • 若
      ，則這橢圓其實是線段。
  • 若
    ，則曲線是besace。
    • 若
      ，則這besace是拋物線一部分。
    • 若
      ，則這besace是一個熱羅諾雙紐線。
以下是利薩茹曲線的例子，其中

利薩茹曲線在電子學上的應用

藉由使用利薩茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。