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切瓦三角形
鎖定
給定△ABC及其平面上不在三角形邊上的一點P，聯結AP，BP，CP交對應邊於A'，B'，C'，則△A'B'C'稱為P點關於△ABC的切瓦三角形(Cevian Triangle)。
- 中文名
- 切瓦三角形
- 外文名
- Cevian Triangle
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 切瓦圓，外接切瓦三角形等
- 舉 例
- 內心三角形，垂足三角形等
目錄
切瓦三角形基本介紹
切瓦三角形定義
圖1
切瓦三角形切瓦三角形的三條邊長
設P點的三線座標是
則切瓦三角形各頂點的三線座標矩陣是
切瓦三角形切瓦三角形的面積
切瓦三角形切瓦三角形的周長
下面來討論一下切瓦三角形的周長。
定理1 考慮一個三角形ABC，其邊長
，定義
是BC，CA，AB邊上的中點，設D，E，F是BC，CA，AB邊上的點，且滿足下列條件：
(1.1) D在X和C之間，E在Y和C之間，F在Z和B之間。
(1.2) ∠CDE≤∠BDF，∠CED≤∠AEF，∠BFD≤∠AFE，那麼∠DEF的周長不大於△ABC的半周長如圖2。
圖2
定理2 假定三角形ABC邊長滿足
，設P在三角形內，P有正號的齊次重心座標
，且滿足：
(2.1)
；
(2.2)
，
那麼P點的切瓦三角形的周長不大於△ABC的中點三角形的周長。
作為例子，內心有重心座標
，條件(2.1) 實際變為
對於形心
，也有
可見這些點都滿足條件(2.1)。
至於奈格爾點，
能滿足條件(2.2)，但不滿足條件(2.1)，外心也同樣如此。
切瓦三角形切瓦圓
切瓦三角形的外接圓稱為切瓦圓。表1是一些常見的幾何特徵點所對應的切瓦三角形及切瓦圓。
切瓦點 | 切瓦三角形 | 切瓦圓 |
內心三角形 | 內心圓 | |
中點三角形 | ||
垂足三角形 | 九點圓 | |
共軛重心 | 等角中線三角形 | 等角中線圓 |
內切點三角形 | 內切圓 | |
外切點三角形 | 曼達爾特圓 |
切瓦三角形外接三角形與半切瓦三角形
由切瓦三角形又衍生出兩個概念：一是外接切瓦三角形；二是半切瓦三角形。
切瓦三角形外接切瓦三角形
給出△ABC及其平面上但不在三角形邊上的一點P，聯結AP，BP，CP，交△ABC的外接圓於A'，B'，C'，則△A'B'C'稱為P點關於△ABC的外接切瓦三角形，如圖3。
圖3
當P的三線座標是
時，外接切瓦三角形的各頂點的三線座標矩陣是
當P點分別是△ABC的內心、形心和垂心時，其外接切瓦三角形分別是：外接中點弧三角形，外接中點三角形，外接垂足三角形。
P的外接切瓦三角形與P點的垂足三角形相似。
切瓦三角形半切瓦三角形
衍生出的第二個概念是半切瓦三角形(Half-cevian Triangle)。
圖4
