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分數階微積分
鎖定
- 中文名
- 分數階微積分
- 學 科
- 數理科學
- 領 域
- 數學分支
- 發現年份
- 1695年
- 分 類
- 分數階微分與分數階積分
目錄
分數階微積分分數階微積分定義
在這個上下文中,冪指數反覆使用,和
中的平方意義相同。例如,可以提出如何解釋如下符號的問題
更一般的,
對於實數值的n,使得當n為整數時,若n>0,它等同於通常的冪n次操作,當n<0,它等同於n次積分J。
討論這個問題有幾個原因。一個是,這樣冪D組成的半羣可以看作一個連續的半羣中取離散值的部分。連續半羣在數學上有很好的研究,有一個有趣的理論。注意,分數是個錯誤的記號,因為指數可以取非有理數,但是分數微積分已成為習慣用法。
分數階微積分試探法
一個很自然的想法是問,是否存在一個算子
起到半導數的作用,即使得:
結論是:這樣的算子是存在的,對於任意
,存在一個算子
,滿足:
或者換一個説法,
的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.
在這裏我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上.Γ函數的定義如下:
假設對函數
在0到x上求積分,我們可以形式的定義積分算子J:
重複這個過程,可得:
這個過程可以任意的重複下去。
利用重複積分的柯西公式,即:
我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。
直接利用
函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式
這個算子定義明確而且具有良好的性質。
可以證明J算子滿足如下關係
分數階微積分分數微分在一個簡單函數上的應用
假設有一個函數
以上微分算子的擴展不僅僅侷限於實數次。舉個例子,
階導數作用後,
階導數再作用,可以得到二階導數。同時如果a為負則可為求積分。
分數微分可以得到上述相同的結果(當
)。
分數階微積分應用
這裏採用了自然單位制,即
。