分佈曲線

分佈曲線是以變數值為橫座標，以累積頻率[概率]為縱座標的曲線圖，即概率分佈函數的圖形。例如正態曲線等。 ^[1] 

分佈曲線使標準分數在實際運用時非常有用。知道了Z分數，就能立刻知道該分數是在均數以上還是在均數以下。又因為標準分數是根據標準差求得的，知道了標準分數也就知道了它出現的概率。比如，在整個常態分佈中，有34%的分數位於從均數到1個標準差的區域內（0≤|Z|≤1），16%的分數位於分佈的兩端超出1個標準差的區域（|Z|>1），大於2個標準差的分數只佔2。5%（|Z|>2）。

表示一個人的的得分在一個團體中的相對地位，可以在使用百分等級之外，選擇使用〝標準分數〞：Z分數和T分數。

也就是將原始分數轉換為一種以平均數為基準，以標準差為單位的距變數。以標準分數的優點來説：可以直接比較某生在不同考試中的相對地位或不同考生在不同考試中的相對地位。

分佈曲線一種概率分佈。正態分佈是具有兩個參數μ和σ2的連續型隨機變量的分佈，第一參數μ是遵從正態分佈的隨機變量的均值，第二個參數σ2是此隨機變量的方差，所以正態分佈記作N(μ，σ2)。遵從正態分佈的隨機變量的概率規律為取μ鄰近的值的概率大，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分佈越集中在μ附近，σ越大，分佈越分散。正態分佈的密度函數的特點是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低，圖像是一條位於x軸上方的鐘形曲線。當μ=0，σ2=1時，稱為標準正態分佈，記為N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分佈。多元正態分佈有很好的性質，例如，多元正態分佈的邊緣分佈仍為正態分佈，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分佈，特別它的線性組合為一元正態分佈。

正態分佈最早由A.棣莫弗在求二項分佈的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。

生產與科學實驗中很多隨機變量的概率分佈都可以近似地用正態分佈來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈着點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來説，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分佈（見中心極限定理）。從理論上看，正態分佈具有很多良好的性質，許多概率分佈可以用它來近似；還有一些常用的概率分佈是由它直接導出的，例如對數正態分佈、t分佈、F分佈等。

正態分佈應用最廣泛的連續概率分佈，其特徵是“鍾”形曲線。

概率分佈，是概率論的基本概念之一，主要用以表述隨機變量取值的概率規律。為了使用的方便，根據隨機變量所屬類型的不同，概率分佈取不同的表現形式。事件的概率表示了一次試驗某一個結果發生的可能性大小。若要全面瞭解試驗，則必須知道試驗的全部可能結果及各種可能結果發生的概率，即必須知道隨機試驗的概率分佈。

概率分佈律[law of probability distribution]簡稱概率律或概率分佈。

上描述隨機變量取值規律的概率測度。假定

是概率空間

上的隨機變量則由

所定義的

上的集函數 F 是一個概率測度，稱為隨機交量

的概率分佈律。對於任何

隨機變量

落入B中的概率可通過計算B 的測度F(B) 得出這就是説概率分佈F 完全刻畫了

取值的概率規律。 ^[2] 

概率指事件隨機發生的機率，對於均勻分佈函數，概率密度等於一段區間(事件的取值範圍)的概率除以該段區間的長度，它的值是非負的，可以很大也可以很小。

對於隨機變量X的分佈函數F（x），如果存在非負可積函數f(x)，使得對任意實數x，有

則X為連續型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數，簡稱為概率密度。

單純的講概率密度沒有實際的意義，它必須有確定的有界區間為前提。可以把概率密度看成是縱座標，區間看成是橫座標，概率密度對區間的積分就是面積，而這個面積就是事件在這個區間發生的概率，所有面積的和為1。所以單獨分析一個點的概率密度是沒有任何意義的，它必須要有區間作為參考和對比。