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共軛復根
鎖定
共軛復根是一對特殊根。指多項式或代數方程的一類成對出現的根。若非實複數α是實係數n次方程f(x)=0的根,則其共軛複數α*也是方程f(x)=0的根,且α與α*的重數相同,則稱α與α*是該方程的一對共軛復(虛)根。
[1]
共軛復根經常出現於一元二次方程中,若用公式法解得根的判別式小於零,則該方程的根為一對共軛復根。
- 中文名
- 共軛復根
- 外文名
- conjugate roots
- 定 義
- 方程的一對互為共軛複數的根
- 產 生
- 通常在一元二次方程中
- 範 疇
- 複數範圍
- 領 域
- 數學、信號與系統等
共軛復根定義
通常出現在一元二次方程中。若根的判別式
,方程有一對共軛復根。
由於共軛複數的定義是形如
的形式,稱
與
為共軛複數。
另一種表達方法可用向量法表達:
,
。其中
,tanΩ=b/a。
由於一元二次方程的兩根滿足上述形式,故一元二次方程在
時的兩根為共軛復根。
根與係數關係:
,
。
共軛復根應用
常係數齊次線性微分方程
消去erx,得微分方程(1)的特徵方程為:
r是特徵方程(2)的解的充要條件是erx是微分方程(1)的解。
若方程(2)有一對共軛的復根
時,方程(1)的通解為:
拉式反變換
式中,m和n為正整數,若m <n,F(s)為有理分式。對此形式的象函數可以用部分分式展開法(或稱分解定理)將其表示為許多簡單分式之和的形式,而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變換表中找到。
若D(e)=0具有共軛復根,由於D(s)是s的實係數多項式,若D(s)=0出現復根,必然是成對共軛。設D(s)=0中含有一對共軛復根,如
和
,則F(s)的展開式中將含有如下兩項
,可得對應係數K1和K2也必為共軛複數,即有
因而對應的反變換為:
Jury陣元素
①
②
③
④
⑤
⑥
離散系統
①
②
定理:實係數多項式
有一對模長等於1的共軛復根(不等於1和-1),其餘n-2個根的模長都小於1的充要條件是:n=3時下列條件①②③⑤成立;n>3時下列條件①②③④⑤成立:
①
②
③
④
⑤