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克萊羅方程
鎖定
克萊羅方程(Clairaut equation)是一類通解有包絡結構的特殊的一階微分方程,它的一般形式為:y=xp+f(p),其中p=dy/dx。克萊羅方程的通解具有形式:y=Cx+φ(C)(直線族),此外存在奇解(包絡),其中奇解可以通過方程組:x=-φ'(p),y=px+φ(p) 消去參數 p 而得到;克萊羅方程的通解可以通過令 p=c (任意常數),代入原方程中而求得。此外,拉格朗日方程是克萊羅方程的特殊情形。
- 中文名
- 克萊羅方程
- 外文名
- Clairaut equation
- 克萊羅
- 法國數學家、天文學家
- 一般形式
- y=xp+f(p),其中p=dy/dx
- 特殊情形
- 拉格朗日方程
- 應用學科
- 微分方程
- 定 義
- 一類通解有包絡結構的特殊的一階微分方程
克萊羅方程定義
克萊羅方程方程求解
克萊羅方程方程的通解
克萊羅方程具體求解步驟
已知方程:
,
對上式左右兩端同時對 x 求導,並令
,可得:
;
即有:
。
(1)如果
,則得到
,將其代入到式子
中可得:
,其中 c 為任意常數,這就是原方程的解。
(2)如果
,則將該式與原方程聯立,得到方程組:
,消去 p 則得到方程的一個解。求此解的過程與求包絡的過程是一致的。不難驗證,此解正是通解的包絡。由此,克萊羅微分方程的通解為一直線族,即在原方程中以 c 代 p,且此直線族的包絡是方程的奇解。
[1]
克萊羅方程典例
克萊羅方程例1
求解方程
,其中
。
解:這是克萊羅方程,因而易得其通解為
,
從方程組
中消去 c,得到奇解:
。
克萊羅方程例2
解方程
。
解:令
,則有
。
微分後,以
代替
,我們得到:
或者
。
求解這個線性方程後,我們有:
。
因此,得到:
,
為了求出奇積分,按照一般規則做出方程組:
,
,
由此得到:
,
。
所以有:
。