複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/克萊姆法則/7211518
複製
複製成功

克萊姆法則

鎖定
克萊姆法則，又譯克拉默法則（Cramer's Rule）是線性代數中一個關於求解線性方程組的定理。它適用於變量和方程數目相等的線性方程組，是瑞士數學家克萊姆（1704-1752）於1750年，在他的《線性代數分析導言》中發表的。其實萊布尼茲〔1693〕，以及馬克勞林〔1748〕亦知道這個法則，但他們的記法不如克萊姆。
對於多於兩個或三個方程的系統，克萊姆的規則在計算上非常低效；與具有多項式時間複雜度的消除方法相比，其漸近的複雜度為O（n·n！）。即使對於2×2系統，克拉默的規則在數值上也是不穩定的 [1]  。
中文名
克萊姆法則
外文名
Cramer's Rule
別    名
克拉默法則
性    質
求解線性方程組的定理
提出者
瑞士數學家克萊姆
領    域
線性代數

目錄

  1. 1 作者介紹
  2. 2 基本介紹
  3. ▪ 概念
  1. ▪ 定理
  2. ▪ 證明
  3. ▪ 推論
  4. 3 法則總結
  1. 4 技術應用
  2. 5 不確定的情況

克萊姆法則作者介紹

克萊姆（Cramer,Gabriel，瑞士數學家 1704-1752）克萊姆1704年7月31日生於日內瓦，早年在日內瓦讀書，1724 年起在日內瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授。他自 1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾與約翰．伯努利、歐拉等人學習交流，結為摯友。後又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數學名家，回國後在與他們的長期通信 中，加強了數學家之間的聯繫，為數學寶庫也留下大量有價值的文獻。他一生未婚，專心治學，平易近人且德高望重，先後當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、意大利等學會的成員。
主要著作是《代數曲線的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第一次正式引入座標系的縱軸（Y軸），然後討論曲線變換，並依據曲線方程的階數將曲線進行分類。為了確定經過5 個點的一般二次曲線的係數，應用了著名的“克萊姆法則”，即由線性方程組的係數確定方程組解的表達式。該法則於1729年由英國數學家馬克勞林得到，1748年發表，但克萊姆的優越符號使之流傳。 [2] 
Cramer's Rule並不是克萊姆(Gabriel Cramer， 1704—1752)本人最先使用的，他只是第1個公開發表這一法則的人。史料記載，英國數學家馬克勞 林(Colin Maclaurin，1698—1746)比克萊姆發現該法則的時間還要早兩年 。如果再向前追溯的話 ，德國數學家萊布尼茲 (Gottfriend wilhelm Leibniz，1646—1716)早在 1678年的一份手稿中，也給出了所謂的Cramer's Rule。 [8] 

克萊姆法則基本介紹

一般來説，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的。使用克萊姆法則求線性方程組的解的算
克萊姆法則
克萊姆法則(10張)
法時間複雜度依賴於矩陣行列式的算法複雜度O(f(n))，其複雜度為O(n·f(n))，一般沒有計算價值，複雜度太高。. 對具體的數字線性方程組，當未知數較多時往往可用計算機來求解。用計算機求解線性方程組目前已經有了一整套成熟的方法。 [3] 
克萊姆法則是線性代數中一個關於求解線性方程組的基本定理，適用於求解變量和方程數目相等的線性方程組。它的意義主要在於它給出了方程組解與係數的明顯關係。 [9] 

克萊姆法則概念

在引入克萊姆法則之前，先引入有關n元線性方程組和有關矩陣、行列式的概念。含有n個未知數的線性方程組稱為n元線性方程組。
當其右端的常數項b1,b2,...,bn不全為零時，線性方程組⑴稱為非齊次線性方程組。
令
，其中A是線性方程組的係數矩陣，X是由未知數組成的列向量，
是由常數項組成的列向量。線性方程組⑴的矩陣形式為
。
當常數項全為零時，線性方程組⑵稱為齊次線性方程組，即：
線性方程組(2)的矩陣形式為
係數構成的行列式稱為該方程組的係數行列式D，即

克萊姆法則定理

記法1：若線性方程組⑴的係數矩陣可逆（非奇異），即係數行列式 D≠0。有唯一解，其解為
記法2：若線性方程組⑴的係數矩陣可逆（非奇異），即係數行列式 D≠0，則線性方程組⑴有唯一解，其解為
其中Dj是把D中第j列元素對應地換成常數項而其餘各列保持不變所得到的行列式。
記法1是將解寫成矩陣（列向量）形式，而記法2是將解分別寫成數字，本質相同。

克萊姆法則證明

充分性：設A可逆，那麼顯然
是
的一個解。又設X1是
其他不為X0的解，即
。兩邊同時左乘A-1得
上面兩式矛盾，因為不存在其他不為X0的解，故
是的一個解。
必要性：設
的唯一解X0。如A不可逆，齊次線性組AX=O就有非零解Y0，
X0+Y0也是
的一個解，矛盾，故可逆，證畢。

克萊姆法則推論

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其係數行列式為零。等價地，方程組有唯一的零解的充要條件是係數矩陣的行列式不為零，其矩陣可逆。 [4] 

克萊姆法則法則總結

1. 克萊姆法則的重要理論價值：研究了方程組的係數與方程組解的存在性與唯一性關係;與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。
2.應用克萊姆法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解:
（1）當方程組的係數行列式不等於零時，則方程組有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程組無解或者有兩個不同的解，那麼方程組的係數行列式必定等於零
(3)克萊姆法則不僅僅適用於實數域，它在任何域上面都可以成立。
3.克萊姆法則的侷限性：
（1）當方程組的方程個數與未知數的個數不一致時，或者當方程組係數的行列式等於零時，克萊姆法則失
效。
（2）運算量較大，求解一個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。 [5] 

克萊姆法則技術應用

克萊姆法則在解決微分幾何方面十分有用。
先考慮兩條等式
和
。因為u和v都是沒相關的變數，可定義
和
。
找出一條等式適合
是克萊姆法則的簡單應用。
首先要計算F、G、x和y的導數：
將dx和dy代入dF和dG，可得出：
因為u和v都沒有關係，所以du和dv的係數都要等於0。所以等式中的係數可以被寫成：
用克萊姆法則就可得到：
用兩個雅可比矩陣來表示的方程：
b
用類似的方法就可以找到
、
以及
。 [6] 

克萊姆法則不確定的情況

當方程組沒有解時，稱為方程組不兼容或不一致，當存在多個解決方案時，稱為不確定性。對於線性方程，不確定的系統將具有無窮多的解（如果它在無限域上），因為解可以用一個或多個可以取任意值的參數來表示。
克拉默規則適用於係數行列式非零的情況。在2×2的情況下，如果係數行列式為零，則如果分子決定因子為非零，則系統不兼容，如果分子決定因素為零，則系統不兼容。
對於3×3或更高的系統，當係數行列式等於零時，唯一可以説的是，如果任何分子決定因素是非零的，那麼系統必須是不兼容的。然而，將所有決定因素置零都不意味着系統是不確定的。 3×3系統x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一個簡單的例子，其中所有決定因素消失（等於零）但系統仍然不兼容。 [7] 
參考資料
  • 1.    Cramer, Gabriel (1750). "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (in French). Geneva: Europeana. pp. 656–659. Retrieved 2012-05-18.
  • 2.    錢志祥. 克萊姆法則的推廣和完善[J]. 四川文理學院學報,2013,23(02):31-33. [2017-08-26].
  • 3.    Katz, Victor (2004). A History of Mathematics (Brief ed.). Pearson Education. pp. 378–379.
  • 4.    《數學辭海》委員會. 數學辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
  • 5.    Joe D. Hoffman; Steven Frankel (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Second Edition,. CRC Press. p. 30. ISBN 978-0-8247-0443-8.
  • 6.    Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. pp. 111–112. ISBN 9780486634012.
  • 7.    Thomas S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. p. 132. ISBN 978-0-387-48947-6.
  • 8.    楊浩菊.克萊姆法則歷史研究[J].西北大學學報：自然科學版,2004,34(2):242-245
  • 9.    馮慶紅.關於克萊姆法則推論的證明補充[J].高教學刊,2015,1(21):260-261