光滑映射

設U為n維歐幾里得空間ℝⁿ的開集，f:U→ℝⁿ稱為U上光滑函數，若f在U上有任意階連續偏導數。 ^[1] 

設M與N為光滑流形，U為M中開集。若對M,N的任意座標映射x,y，f:U→N滿足y·f·x^-1為歐幾里得空間的光滑函數，則稱f為光滑映射。 ^[1] 

若A為M中任意子集，則f:A→N若能擴張為

:U→N，其中U為M的開集，且A⊂U，則f稱為光滑映射。

光滑映射之間的複合為光滑映射。 ^[1] 

設U為ℝⁿ的開集，F:U→ℝⁿ為光滑函數。則對∀a∈U，存在a的鄰域W，與含0的區間I，與光滑映射ψ:I×W→U滿足 ^[1] 

(1)ψ(0,u)=u

(2)Dψ(t,u)e₁=F∘ψ(t,u)

設U為M的開集，f:U→N為光滑映射，則f在p∈U的階為線性映射f_*p:T_pM→T_f(p)N的階，即f_*(T_pM)的維數。 ^[1] 

設f:M→N為光滑映射。若α∈A_k(N)，則α沿f的拉回為M的k形式f*α，定義為

(f*α)(p)(v₁,...,v_k)=α(f(p))(f_*v₁,...,f_*v_k)，p∈M，v_i∈T_pM。

當k=0時，即α為M的函數φ，則f*φ=φ∘f。

f*:A(N)→A(M)為代數同態。

df*=f*d。

f*誘導出線性變換f*:H^k(N)→N^k(M)。 ^[1]