倒易點陣

倒易點陣的概念在晶體結構和固體物理學中都有十分重要的作用。到目前為止，大多數教程都是在密勒指數或晶面指數無關的情況下來定義倒易點陣概念的。由於晶面指數的概念出現得很早，有一些老的晶體學和固體物理學教程中甚至沒有提到倒易點陣這個概念。在目前流行的固體物理學教科書中，對倒易點陣均有敍述，而且處處應用。但是，倒易點陣概念的引入比較生硬，對倒易點陣與晶面指數的關係交待得不夠清楚 ^[1]  。

① 由基矢決定的平行六面體的體積互為倒數。

② 原點陣中指數為(h,k,l)的一組平面垂直於其倒易點陣中有着相同指數[h,k,l]的方向，而且陣面族的面間距dHKL同直線長度rHKL成反比例關係：dHKL=K/rHKL。這樣，就可以用一個倒陣點來代表正點陣中的陣面族。而倒陣點就可以和衍射圖樣上的衍射斑點聯繫起來。

倒易點陣的引入除了解釋晶體的X射線衍射圖樣外，倒易點陣的概念在固體理論中也非常重要，作出由原點出發的諸倒易點陣矢量的垂直中分平面，則為這些平面所完全封閉的最小體積就是第一布里淵區。固體理論中習用的倒易點陣的尺寸為這裏定義的2π倍。 ^[2] 

晶面指數或密勒指數的概念在140 多年前就出現在晶體學文獻中了，當時人們只需瞭解和標誌極少數幾個晶面的方向，所以只需要h、k、l 的比值。換言之，只要兩個獨立量就夠了。在歷史上給出互質的3 個數來表徵一個晶面族或許就是這個緣故。只是在1912 年勞埃發現X 射線衍射現象之後，人們才從實驗上認識到原子的點陣結構，因而考慮晶面間距才成為必要。這時密勒指數或晶面指數定義中隱含的關於面間距的信息才變得重要起來，必須開發出來。

上述討論表明，從一個適當的晶面族的描述及對晶面指數的定義出發，可以非常自然得出倒易點陣的定義。有了這裏闡明的基礎知識，讀各類不同教材就不容易引起混亂了。

有人以為可以對每一晶面( 離原點μ 個面間距) 可定義一個倒易矢量μn /d。容易證明，這可使倒易矢量與倒易點陣格矢量完全一一對應。這種作法在形式上是可以的，但歷史上晶面指數的定義不一致，亦與X 射線衍射中的習慣不一致，會引起許多別的麻煩。事實上，X 射線晶體衍射中對μ 級衍射可引入等效面間距為d /μ 的衍射面族，對這個面族引入面指數和倒易矢量，就可與倒易點陣完全一一對應了 ^[3]  。