保號性

函數

在一定點集

上有定義，且函數值恆正（或恆負），則稱函數

在一定點集

上具有保號性。

函數有非零極限點去心鄰域內的局部保號性

定理 若函數

在

點的某個去心鄰域內

有定義，且

，

（1）若

（或

），則存在某個去心鄰域

，對該去心鄰域內一切

恆有

（或

）。

（2）存在某個去心鄰域

，對該去心鄰域內一切

恆有

（或

）。則

（或

）

證明（1）由於

，根據極限定義，

對於取定正數

，總存在

，當

時，有

，

即

，該去心鄰域內一切

恆有

。

（2）是（1）的逆命題，用反證法可得證明。

函數連續點鄰域內的局部保號性

若函數

在

點的某個去心鄰域內

有定義，

在

點連續，且

（或

），則存在某個（實心）鄰域

，對該去心鄰域內一切

恆有

（或

）。

證明 不妨設

，根據連續定義，有

，根據極限的局部保號性，知存在某個去心鄰域

，對該去心鄰域內一切

恆有

。

由於該鄰域中心

點已有

，該去心鄰域對應的實心鄰域內一切

恆有

。

若函數

在（

）上有定義，

【或

】，則必存在

，當

時，

。

結論1的證明對於

的情況 ，根據極限定義，

對於取定正數

，總存在

，當

時，有

，即

。

對於

的情況，根據極限定義，對於任意取定的正數

，必存在

，當

時，

。

對於

，以及

【或

】的情況，都成立類似結論：

局部保序性 ^[1]  是函數極限的重要性質之一，它是局部保號性的一個推廣。以下只就

的情況作敍述，

時的情況完全類似，不再贅述。

定理 設

，

，若

，則存在

點的某個去心鄰域，在此鄰域內恆有

。

設

，

，若存在

點的某個去心鄰域，在此鄰域內恆有

。則

。

這個定理可以直接證明，也可以作了輔助函數

後利用局部保號性來證明。

若

,

（1）若

，那麼存在正整數

，當

時，有

。【注：若

也有類似結論】

（2）若存在正整數

，當

時，有

，則

。