伯格曼核函數

伯格曼核函數是刻畫有界域函數論性質和幾何性質的一個極有用的正值函數。

設D為Cⁿ中的有界域，記μ為Cⁿ的歐幾里得測度，考慮函數空間

其中Hol(D)為D上所有全純函數構成的集合，在

中引進內積

於是

關於此內積為希爾伯特空間，且有可數積。任給完備規範正交基φ₁,φ₂,...，於是

關於p及

為全純函數，且

與規範正交基的選取無關。

稱為有界域D上的伯格曼核函數。 ^[1] 

平方可積全純函數f(z)可表為

全純函數是復理論研究的核心之一，它們是複流形到 C 的處處可微函數。全純比實可微強很多，它直接推出函數無窮階可微並可泰勒展開。“(復)解析函數(analytic function)” 可和 “全純函數” 交換使用，但不常用，一般用來指實解析函數。

"在一點全純" 可推出在該點的某個開鄰域可微。類似地，可以定義全純多複變函數。全純映射(holomorphic mapping) 是指兩個複流形之間的局部全純函數。