代數系統理論

代數系統理論是近世代數(抽象代數)研究的中心問題，是在初等代數學的基礎上產生和發展起來的。它通過對大量原子系統賦以函數變換和各種互連結構，形成複雜多樣的系統特性，並進而研究系統變量集合及其運算的代數性質以及由此形成的系統的代數結構。計算機技術的發展和普及，使得代數系統理論在計算機科學中得到了非常廣泛的應用，並已成為從事計算機應用開發的研究人員的基本工具。在諸如可計算性、計算的複雜性、數字結構的抽象刻畫、程序設計語言語義學等領域中都是以代數結構作研究工具的 ^[1]  。

代數系統(algebra system)是抽象代數學研究的對象，是20世紀20年代在 初等數學基礎上發展起來的一門學科，它在數學各領域均有應用，近年來並大量用於計算機領域。

抽象代數學是研究由非特定的任意元素組成的集合及定義在元素之間滿足若干條件或公理的代數運算所組成的系統的數學分支。設S為一非空集合， S上的n維笛卡兒積Sⁿ(見關係)到S的映射(見函 數)f：Sⁿ→S稱為S上的n元運算。最常見的是一元 運算S： S→S和二元運算f：S²→S。如在實數集上 求相反數是一元運算，實數的加法和乘法是二元運算。非空集合S和S上的k個運算f₁，f₂，…，f_k組 成的系統，稱作代數系統，記做〈S，f₁，f₂，…，f_k〉。 代數系統也稱作代數結構。代數系統包括半羣、羣、 環、域和格等。下面用Z、Q、R和C分別表示整 數集合、有理數集合、實數集合和複數集合。

在代數系統中常將一元運算f(a)記為*a，二元 運算f(a，b)記為a*b。設·與*為非空集合S上的二 元運算。①冪等律： 若∀a∈S，a*a=a， 則稱*滿足冪 等律。 ②交換律： 若∀a， b∈S， a*b=b*a， 則稱*滿 足交換律。 ③結合律： 若∀a， b， c∈S， a*(b*c)=(a*b)*c，則稱*滿足結合律。④分配律： 若∀a， b， c∈S， a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)* (c·a)，稱·對*滿足分配律。⑤吸收律： 若·與*滿足 交換律且∀a， b∈S， a*(a·b)=a， a·(a*b)=a， 則稱· 與*滿足吸收律。例如，集合的並、交運算滿足冪等 律、交換律、結合律，並對交和交對並滿足分配律， 並與交滿足吸收律; 實數集合上的加法、乘法都滿 足交換律和結合律，但不滿足冪等律。乘法對加法 滿足分配律，但加法對乘法不滿足分配律，加法與 乘法不滿足吸收律; 矩陣乘法滿足結合律，但不滿 足交換律。

設*為集合S上的二元運算。①單位元：設e∈S， 若∀a∈S， e*a=a*e=a，則稱e為S關於運算*的單位 元。 ②零元： 設θ∈S， 若∀a∈S， θ*a=a*θ=θ， 則 稱θ為S關於運算*的零元。③逆元：設*為S上的二 元運算，e為單位元，a∈S，若存在b∈S使得 b*a=a*b=e，則稱b為a關於運算*的逆元，常記作 a。此時又稱a是可逆的。例如，在實數集合上， 0是關於加法的單位元，而1是關於乘法的單位元。 0是關於乘法的零元。對任意的z，z關於加法的逆 元為-z： 當z≠0時，z關於乘法的逆元為1/z。

羣論是一種重要的代數系統。

半羣： 若G上的二元運算*滿足結合律，則稱 代數系統〈G，*〉為半羣。

獨異點： 有單位元的半羣。

羣： 每個元素都可逆的獨異點，即羣是滿足下 述3個條件的代數系統〈G，*〉： ①二元運算*滿 足結合律， ∀a， b， c∈G， a*(b*c)=(a*b)*c; ②G有 單位元e，∀a∈G， a*e=a*e=a;③G的每一個元素a 有逆元a^-1，a*a^-1=a^-1*a=e。羣〈G，*〉可簡記為G。 例如，任一集合S的冪集P(S)關於並(交)運算構成 獨異點， 其中空集∅(集合S)是單位元; 設∑是一非 空集合，∑*是∑中有限長字符串的全體， “○”表示 兩個字符串的連接，如abaobba=ababba，則〈Σ*，○〉是一個獨異點， 其中空串是單位元;整數集合關 於加法構成一個羣，稱作整數加法羣，類似地還有 有理數加法羣、實數加法羣;設n是正整數，記 Z_n={0，1，…，n-1}，Z*={1，2，…，n-1}，定 義模n加法⨁和模n乘法⨂如下：∀x，y∈Z_n， x⨁y= (x+y)mod n，x⨂y=xy mod n，則〈Z_n，⨁〉是羣， 稱 作模n加法羣; 〈Z*，⨂〉是獨異點;當n為素數時， 〈Z*， ⨂〉是羣， 稱作模n乘法羣。

子羣： 設〈G， *〉， H⊆G是一非空集合， 若〈H， *〉構成一個羣，則稱H是G的子羣。例如，有理數 加法羣是實數加法羣的子羣，整數加法羣是有理數 加法羣的子羣、也是實數加法羣的子羣。

有限羣與無限羣： 只有有限個元素的羣稱為有 限羣，否則稱為無限羣。有n個元素的有限羣稱作 n階羣。例如，模n加法羣是n階有限羣，整數加 法羣是無限羣。n階羣的子羣的階必是n的因子。

交換羣： 運算是可交換的羣，又稱阿貝爾羣。 例如，整數加法羣是交換羣; 全體n階可逆矩陣關 於矩陣乘法構成羣，它不是交換羣。在羣中，a*b 常簡記作ab，n個a的運算a*a*…*a記作aⁿ，稱作 a的n次冪，規定a⁰=e。

在羣中，①滿足消去律，即若ab=ac(或ba=ca)， 則b=c; ②方程ax=b和xa=b均有唯一解，它們的 解分別為x=a^-1b和x=ba^-1。

循環羣： 一類最簡單且應用廣泛的羣。若羣G 的每一個元素都可以表示成某個元素a的冪，則稱 G是循環羣，a是G的生成元，記做G=〈a〉。n階 循環羣可表示成{e，a，a²，…，a^n-1}，無限循環羣 可表示成{e，a，+，aⁿ，…}。例如，整數加法羣 是無限循環羣，有兩個生成元1和-1;模n加法羣 是循環羣，1是一個生成元，還可能有其他的生成 元。如模10加法羣有4個生成元1，3，7和9。循 環羣都是交換羣，循環羣的子羣都是循環羣。

在非空集合S上定義兩個二元運算+和·(分別 稱為“加法”和“乘法”)。若代數系統〈S，+〉是 交換羣，〈Z，·〉是半羣，且·對+滿足分配律，即① 加法+滿足結合律和交換律，有單位元0，每一個 元素都有逆元; ②乘法·滿足結合律; ③·對+滿足 分配律， ∀a， b∈S， a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， (b+c)·a= (b·a)+(c·a)，則稱代數系統〈S，+，·〉為一個環。在 環中，加法的單位元0常稱為零元，a的加法逆元 稱作負元，記作-a。乘法可交換的環稱作交換環。

設〈S，+，·〉是一個環。如果乘法·有單位元、 是可交換的， 且∀a， b∈S， a≠0且b≠0藴涵ab≠0， 則稱〈S，+，·〉是整環。如果〈S*，·〉也構成羣，其 中S*=S-{0}，則稱〈S，+，·〉是除環。乘法·是可 交換的除環稱作域。

例如，有理數集、實數集和複數集關於加法和 乘法都構成域，分別稱為有理數域、實數域、複數 域。整數集關於加法和乘法構成整環。對任意的整 數n≥2， 〈Z_n， ⨁， ⨂〉是環; 當n是素數時， 〈Z_n，⨁， ⨁〉是域 ^[2]  。