亞純函數值分佈理論

亞純函數值分佈理論是亞純函數理論中具有深刻而完美理論的一個分支。設w(z)為複平面C上的亞純函數，令：

表示圓|z|<r內w(z)的a值點個數(按重級計算)，若w(0)≠a，∞，則w(z)的a值點密指量定義為：

奈望林納引入特徵函數：

其中：

進一步定義w(z)關於a的虧量為：

如果δ(a)>0，則稱a為虧值。由第二基本定理可得下述重要的虧量關係，即至多有可數多個虧值，且總虧量滿足：

近代亞純函數值分佈理論亦稱奈望林納理論，是由芬蘭數學家奈望林納(Nevanlinna，R.)於20世紀20年代創立的。他還建立了兩個基本定理且引入新的概念，使得已有的理論或呈現嶄新的面貌，或得到重要的推廣。亞純函數奈望林納理論還被推廣於代數體函數、亞純曲線和多復變亞純映射等方面，並且成為研究復域常微分方程解析理論的有力工具。

除極點外為全純的函數為亞純函數，它是複變函數論研究的主要對象之一。

德國數學家外爾斯特拉斯、瑞典數學家米塔-列夫勒、法國數學家柯西等都是亞純函數理論的奠基人。1876年，外爾斯特拉斯證明了一個亞純函數可以表示為兩個整函數的商。第二年，瑞典數學家米塔-列夫勒推廣了外爾斯特拉斯的結果，證明在任意一個區域上的亞純函數皆可表示為兩個函數的商，其中每一個都在該區域內解析。法國數學家柯西也曾給出一種分解方法，對相當廣的一類亞純函數得到簡單的表示式。

近代亞純函數理論是20世紀20年代由芬蘭數學家奈望林納所創立。他在1925年發表了亞純函數的一個一般性理論，這個理論中有兩個基本定理分別被稱為第一基本定理和第二基本定理，從它們可以推出一系列關於亞純函數的值分佈的結果，豐富並推進了前人的工作，產生了深遠影響。

亞純函數的術語是由法國數學家布里奧和布凱共同引進的。 ^[1] 

代數體函數是亞純函數或代數函數的推廣。設M為亞純函數域，M[x]表示係數為M的多項式環，則代數體函數域A是M[x]的代數閉包，即任一個w∈A，存在F∈M[x]，使得：

其中S_j(j=0，1，2，…，ν)∈M，或者經通分後w滿足下述不可約方程：

其中A_j(z)(j=0，1，…，ν)是z的整函數(通常考慮A_j(z)中至少有一個為超越函數的情形)。特別地，當ν=1時，w(z)為亞純函數；當A_j(z)(j=0，1，…，ν)都為多項式時，w(z)為代數函數。

代數體函數首先由龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)所引入，其後班勒衞(Painlevé，P.)、布特魯(Boutroux，P.L.)和馬爾姆奎斯特(Malmquist，J.)等人研究常微分方程時遇到此類函數。如同亞純函數一樣，代數體函數的主要研究內容之一是它的值分佈理論。最早由雷蒙多斯(Rémoundos，G.)(1927)推廣了皮卡定理，他證明了ν值代數體函數至多有2ν個皮卡例外值，並指出存在具有2ν個皮卡例外值的代數體函數。其後瓦利隆(Valiron，G.)(1929)、烏利希(Ullricn，E.)(1931)和塞爾貝格(Selberg，A.)(1930-1934)分別用不同的方法對代數體函數建立了相當於亞純函數奈望林納理論的基本定理，即代數體函數的第一基本定理和第二基本定理。根據第二基本定理可以得到代數體函數的虧量關係以及重值和惟一性定理等重要結果。1933年，嘉當(Cartan，H.)討論了p(≥2)個全純函數的線性組合a₁g₁(z)+a₂g₂(z)+…+a_pg_p(z)的零點分佈問題。特別地，當取a_j=a(j=1，2，…，p=ν+1)時，則相當於考慮ν值代數體函數的值分佈.因此嘉當的討論能導出代數體函數的基本結果。

芬蘭數學家。1895年10月22日生於約恩蘇，1980年5月28日卒於赫爾辛基。13歲時進入絃樂學校，1913年考入赫爾辛基大學學習數學，受教於林德勒夫，1917年獲哲學碩士學位，1919年又取得哲學博士學位。1922年任赫爾辛基大學講師，後任中學教師。1924年受蘭道的邀請去格廷根訪問，併成為蘭道的助手。同年，成為芬蘭科學院院士，1926年成為教授。1926年至1940年間在赫爾辛基大學任教授，1941—1945年任該校校長，之後一直在赫爾辛基大學任教，其中1959年至1962年間任國際數學聯盟主席，還曾擔任芬蘭數學會主席。德國格廷根、匈牙利科學院院士，瑞典皇家科學院、丹麥科學院外籍院士等。

奈望林納的興趣十分廣泛，如音樂、古典文學、數學。在數學上他是芬蘭現代數學的奠基者，其主要貢獻在解析函數論領域，他還是現代亞純函數理論的創始人。1918—1919年，他開始研究亞純函數，1921年對星形單葉函數得到了精確的係數估計，20年代發表的亞純函數數值分佈理論的基本定理，奠定了這一分支的基礎。這一理論被譽為奈望林納的值分佈理論。以後他發展了這個理論，給出了第一及第二基本定理，由此推出亞純函數值分佈的一系列結果，H·外爾認為這是“本世紀為數很少的重大數學事件之一”。此外，他在超越整函數、黎曼曲面分類理論、單位圓盤上的單葉函數、開黎曼面上的阿貝爾積分等方面都有研究工作。其他成就包括創立了調和測度與相伴原理，以及哈達馬三圓定理的推廣、彈道的測定等。

奈望林納一生在許多不同論題上不斷地寫了大量的文章與書，寫有名著《解析函數論》(1936，有多種文字譯本)、《皮卡-波萊爾定理與亞純函數理論》(1929)及《單值解析函數》(1935)、《單值化》(有中譯本)、《黎曼曲面》(1953)、《無座標分析學》(1959)、《複分析綜合講義》(1966)等。他先後被海德堡等6所大學授予名譽博士稱號。並獲國際威赫裏(Wihuri)獎(1958)和北歐的斯蒂芬斯(Henrik Steffens)獎，還曾得到芬蘭的白玫瑰大十字勳章。他是芬蘭雄獅勳章一級勳爵士，還獲得二級自由十字勳章。 ^[1]