互相關

兩個函數f(x)和h(x)的互相關，由含參變量x的無窮積分定義，即

或

類似於卷積，這裏，參變量x和積分變量x′均為實數，函數f(x)和h(x)可以是實數，也可以是複數 ^[1]  。

(1)式表明，兩個函數互相關的含義是：對兩個函數分別作複數共軛和反向平移並使其相乘的無窮積分。(2)式表明，兩個函數互相關的含義是，第一個函數依次作複共軛和平移後與第二個函數相乘的無窮積分。可以證明，兩個定義式完全等價(可以互相導出)。從物理上看，互相關運算的結果反映了兩個信號之間相似性的量度。特別是對於實函數f(x)和h(x)而言，其相關運算相當於求兩函數的曲線相對平移 1個參變量x後形成的重疊部分與橫軸所圍區域的面積。

為了簡化算式，通常特引入相關運算符號“⊗”，這樣便可將f(x)和h(x)的互相關表示為 ^[1] 

互相關有如下性質：

1) 互相關運算一般不服從交換律，即

但可以證明

並且，當函數f(x)和h(x)均為實數時，有

2) 互相關與卷積的意義不同，但互相關可以用卷積表示，即

顯然，只有當函數f(x)為實的偶函數時，才有

由於相關與卷積的這種聯繫，相關運算的其他性質以及存在條件，可以利用其與卷積的關係，由卷積的相應性質導出。類似地，定義二維複函數f(x，y)和g(x，y)的互相關為

同樣，一維函數互相關的所有性質同樣適用於二維函數的互相關，此處不再贅述 ^[1]  。