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二次無理數
鎖定
- 中文名
- 二次無理數
- 外文名
- quadratic irrational number
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 初等數論(連分數)
- 簡 介
- 滿足整係數二次方程的無理數
二次無理數基本概念
定義 一個複數α稱為二次無理數，如果它是某個整係數二次方程
ax2+bx+c=0
二次無理數相關定理及概念
定理1α是二次無理數的充分必要條件是存在非平方的整數d，及有理數r，s，s≠0，使
定理2 設整數d不是平方數，那麼形如
(r，s是有理數)的數的和、差、積、商仍然是這種形式。
定義 對於無限簡單連分數
，如果存在兩個整數s≥0，t>0使得
例如a=[5，3，4，1，2，1，2，…]，則這個循環連分數的s=3，t=2。
每個純循環連分數收斂於一個二次無理數α，滿足
，下面是其逆命題。
設α是一個二次無理數，滿足
，存在正整數p，q，d，其中d是非平方數，使得p
。
2.設d是非平方正整數，p和q是整數，
，
，則：
(1)若
，其中
，其中
，其中
和
是整數；
(2)若
，其中
，則
，其中p2和q2是整數；
(3)若
，其中
，則
，其中
與
是整數；
(4)每個
且
；
(5)只有有限多個不同的
；
(6)若
(1≤n≤m)是第一次重複出現的兩個數，則
，進而利用歸納法得到
對一切正整數i成立；
(7)若
，則對一切n有
；
(8)若n>1，則
，所以
；
