共軛數

如果

，用

代替

中的

所得到的數

叫做

的共軛數，注意當且僅當

是實數時，

。 ^[2] 

兩個複數之和的共軛數等於這兩個數的共軛數之和，兩個複數之積的共軛數等於每個因數的共軛數之積。

例如：如果

，那麼

同樣

如同

與

的對應(寫作

)，既在加法中又在乘法中被保持，叫做自同構，實數域沒有自同構，除了每個數對應於它自己的這種平凡的情況，而複數域除了自己對應於自己和共軛關係的對應外，也沒有自同構。數學專業的大學畢業生將會一再遇到這個概念。

如果

具有實係數且

是一個複數， 那麼

。 ^[2] 

令

其中的

都是實數，從而

，又

於是由定理1，

設是一個復係數多項式，而令

為每一個係數用它的共軛數代替後得到的多項式，那麼

是一個實係數多項式。

如果

那麼，

中

的係數為

對於

，有

，由於它等於它自己的共軛數，所以是實數。

如果

具有實係數，且有一個根

，那麼

也是它的根。

因為如果

，那麼

，所以

。

由於只有當

是實數的時候，才有

，我們得到下面定理。

一個實係數方程的非實根成共軛對出現。

令

，那麼

其係數都是實的，這樣，如果一個n次實係數多項式

有一個非實根，那麼

可寫成一個實的二次因式和另一個

次實係數因式的積，繼續這樣論證下去證得下面定理。

每一個實係數多項式可以寫成若干個一次的或二次的實係數多項式的積。 ^[2] 

主要有兩類共軛數

共軛無理數：形如a+√b和a-√b的，a、b為有理數，但b不是完全平方數的數互稱為共軛無理數。

共軛複數：複數範圍內，實部相同，虛部符號相反的，形如a+bi和a-bi的兩數互稱為共軛複數數。

以上兩種共稱為共軛數。