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三次曲線
鎖定
- 中文名
- 三次曲線
- 外文名
- Cubic Curves
- 學 科
- 數學
- 性 質
- 和一般曲線都相交三個點
- 發現者
- 牛頓
- 定 義
- F(x,y,z)=0, deg F=3.
三次曲線曲線介紹
三次曲線定義
一般來説,應用齊次座標,三次曲線有以下幾項組成:
圖為4x3- ax2y +9xy2-9y3-36x +36y +10b =0光滑的三次曲線是虧格1曲線, 所以也是橢圓曲線。
三次曲線發展史
在牛頓之前,也沒有人能夠像把非退化二次曲線分成橢圓、雙曲線與拋物線那樣對三次曲線分類。牛頓從1664年起試圖追隨笛卡兒按方程次數對曲線分類的思路來解決這一課題。1667—1668年和1678—1679年間,他又兩度回到高次曲線的研究並獲重大進展。但如其一貫所為,牛頓遲疑於結果的發表,直到1695年,他才將以前的結果總結成專論《三次曲線枚舉》(Enumeratio linearum tertii ordinis)並作為《光學》的附錄發表(1704)。
三次曲線定理
Chasles(3張)
相關人物(2張)
有關Cayley-Bacharach定理的推廣及其他,可參考: CURVES IN CAGES: AN ALGEBRO-GEOMETRIC ZOO,Gabriel Katz
三次曲線眾多曲線
三次曲線引言
《三次曲線枚舉》首先根據平面曲線與直線相交所產生的交點數來定義曲線的階,同時指出圓錐曲線的許多概念與性質可以被推廣至高次曲線.例如牛頓提出了適合高次曲線的一般直徑理論(在這理論中n次曲線的直徑被定義為該曲線與一平行直線簇中每一條的n個交點的重心軌跡)和一般漸近線理論等。
Newton討論了三次曲線的分類.他注意到任一三次曲線至少有一個實漸近方向,取與此方向平行的直線為座標軸之一,牛頓導出了三次曲線方程的四類基本形式——事實上:Newton發現他們都是五種三次發散拋物線(Newton如是説,即divergent cubic parabolas)的投影,正像所有的圓錐曲線都可看作是圓的投影一樣——由此Newton將所有三次曲線分為72類,而丟失了其中的六類(J.斯特林(Stirling,1717)、G.克萊姆(Cramer,1746)等人又追加了6種)。Newton的分類方法被歐拉批評,被認為缺乏一般性——不過這是後話。Plücker後來又改了更完善的219種分類。
(i)xy2+ey=ax3+bx2+cx+d,
(ii)xy=ax3+bx2+cx+d,
(iii)y2=ax3+bx2+cx+d,
(iv)y=ax3+bx2+cx+d.
第一類(i)xy2+ey=ax3+bx2+cx+d(立方雙曲線) 這也是 最複雜的一類,兩邊同時乘以x,得
(xy+e/2)2=ax3+bx2+cx+d+1/4*e2(2)
討論這兩個方程的根
其中,比較著名的有蛇形線(Serpentine Curve):
x2y+a2 y-b2x=0Fig1.一般立方雙曲線
一般立方雙曲線有三條漸近線,近似於雙曲線。中間為卵形線(oval)(三個分支,一內一外,另一個則在兩漸近線同側)且(2)中四實根互異
三次曲線Fig2-8
如右圖冊所示