七面體

如圖1所示，六角錐是指底面為六邊形的錐體，由六邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。所有六角錐皆為七面體。

（1）六角錐有7個面、12個邊和7個頂點；

（2）如同其他的錐體，對偶仍為六角錐，是一個自身對偶多面體；

（3）六角錐有6個側面，均為三角形；1個底面，為六邊形；

（4）六角錐是凸多面體；

（5）六角錐的歐拉特徵數為：F=7，E=12，V=7（X=2）。

如圖2所示，五角柱是一種多面體，是柱體的一種，是指底面是五邊形的柱體。當它底面是正五邊形時，則稱為正五角柱，若一正五角柱側面是正方形，則他就屬於半正多面體或均勻多面體，因此有時稱為半正七面體。所有五角柱都是七面體。

（1）五角柱有7個面15個邊和10個頂點；

（2）五角柱的歐拉特徵數為：F=7，E=15，V=10（X=2）；

（3）五角柱有2個底面，均為五邊形；有5個側面，均為四邊形；

（4）五角柱的對偶是雙五角錐；

（5）五角柱用威廉表示法可表示為：P5；

（6）五角柱是凸多面體。

正三角錐柱為92種Johnson多面體(J₇)中的其中一個，可由正多面體中的正四面體（正三角錐）與三角柱於相等大小的三角形面接合而組成。這92種Johnson立體最早在1996年由Johnson Norman命名並給予描述。

Johnson多面體，有譯作約翰遜多面體或莊遜多面體，是指正多面體、半正多面體、柱體、反角柱之外，所有由正多邊形面組成的凸多面體。他由4個三角形和3個正方形組成。

如圖3所示，正三角錐柱具有如下性質：

（1）正三角錐柱有7個面、12條邊、7個頂點；

（2）正三角錐柱由4個正三角形和3個正方形組成。

（3）正三角錐柱是凸多面體。

如圖4所示，Szilassi多面體是一種凹多面體，是七面體的一種，拓撲結構的環，有7個六邊形面，中有六個面是凹六邊形。Szilassi多面體每個面都與相鄰的面共用邊。因此，可用七種顏色來塗滿每個相鄰的面，是七色定理的下限。它有一個180度的對稱軸；它有3組面全等並留下一個未成對六邊形而構成的多面體。Szilassi多面體的14個頂點和21個邊在一個環面嵌入Heawood graph的四面體和Szilassi的多面體是已知的兩個每個面都與其他面共邊的多面體。

證明：假設存在正7面體，正7面體的每個面都是正m邊形，正7面體的每個頂點連出n條稜（亦即n個面交於同一頂點），顯然,n<7。那麼，該多面體的面數F=7（定義）。因為兩個面交於一稜，所以稜數E=7m/2。因為n條稜交於一頂點，所以頂點數V=2E/n=7m/n。根據歐拉公式，V+F-E=2，所以7m/n+7-7m/2=2。兩邊同乘以2n併合並同類項，得到10n=7mn-14m。因為等號右邊能被7整除，所以等號左邊一定能被7整除，從而n=0或7（或7的其它倍數），而這都是矛盾的。

因此，正7面體不存在。

問題：將一個七面體沿着它的稜剪開，至少需要剪幾刀，才可以將它展開成一個平面圖形？

從正方體入手，我們知道，正方體一共有6個面，12條稜，將它展開成平面圖形後，如果6個面相連，那麼共有5條稜連接6個面，另外7條稜必須全部剪開，所以至少要剪7刀。由此，可以將之推廣到一般情況：一個多面體，如果有n個面，m條稜，那麼將它展開成平面圖形，至少要剪[m- (n- 1)]刀。要將七面體展開成平面圖形，所剪的刀數與總稜數有關，只要用總稜數減去6就得到所要剪的刀數，所以總稜數不同的多面體，展開成平面圖形，所需剪的刀數不同。

從正方體入手來考慮，將正方體截去一個角，可以得到七面體，不同的截法所得七面體的稜數不同。下面的幾種截法中稜數都不一樣，總稜數分別是12（如圖 5）、13（如圖 6）、14（如圖 7）、15（如圖 8），展開成平面圖形分別需要剪6、7、8、9刀 ^[1]  。

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