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一階線性微分方程
鎖定
- 中文名
- 一階線性微分方程
- 外文名
- First order linear differential equation
- 定 義
- 形如y'+P(x)y=Q(x)的微分
- 分 類
- 當Q(x)≡0時,方程為y'+P(x)y=0
- 解 法
- 一般用常數變易法
一階線性微分方程定義
形如
(記為式1)的方程稱為一階線性微分方程。其特點是它關於未知函數y及其一階導數是一次方程。這裏假設
,
是x的連續函數。
如果
不恆為0,式1稱為一階非齊次線性方程,式2也稱為對應於式1的齊次線性方程。
一階線性微分方程通解求法
一階線性微分方程的求解一般採用常數變易法,該方法是由法國著名數學家Lagrange發現的
[3]
。通過常數變易法,可求出一階線性微分方程的通解:先求解一階線性非齊次微分方程所對應的齊次方程,將所得通解中的常數變為一個未知函數。為了求出這個未知函數,將該含有未知函數的解代入原方程解出這個未知函數,從而得到原方程的通解。
[3]
一階齊次線性微分方程
對於一階齊次線性微分方程:
其通解形式為:
其中C為常數,由函數的初始條件決定。
一階非齊次線性微分方程
對於一階非齊次線性微分方程:
其對應齊次方程:
解為:
令C=u(x),得:
帶入原方程得:
對u’(x)積分得u(x)並帶入得其通解形式為:
其中C為常數,由函數的初始條件決定。